前置知識：

• 行列式的性質
• 逆矩陣的性質
• 【定義】矩陣的秩
• 線性方程組與矩陣的秩
• 矩陣初等變換與矩陣乘法的聯系

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前置定義 2　設在矩陣 $\mathbf{A}$ 中有一個不等于 $0$ 的 $r$ 階子式 $D$，且所有 $r+1$ 階子式（如果存在的話）全等于 $0$，那么 $D$ 稱為矩陣 $\mathbf{A}$ 的 最高階非零子式，數 $r$ 稱為 矩陣 $\mathbf{A}$ 的秩，記作 $R(\mathbf{A})$。并規定零矩陣的秩等于 $0$。

說明見 “【定義】矩陣的秩”。

前置性質 3　行列式與它的轉置行列式相等。

證明見 “行列式的性質”。

前置定理 4　若矩陣 $\mathbf{A}$ 可逆，則 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

證明見 “逆矩陣的性質”。

前置定理 5　設 $\mathbf{A}\stackrel{r}{～}\mathbf{B}$，則 $\mathbf{A}$ 與 $\mathbf{B}$ 中非零子式的最高階數相等。

證明見 “【定義】矩陣的秩”。

前置定理 6　設 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 為 $m \times n $ 矩陣，那么 $\mathbf{A}～\mathbf{B}$ 的充分必要條件是存在 $m$ 階可逆矩陣 $\mathbf{P}$ 和 $n$ 階可逆矩陣 $\mathbf{Q}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$。

證明見 “矩陣初等變換與矩陣乘法的聯系“。

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1 矩陣的秩與矩陣是否可逆的關系

定理 1　逆矩陣的秩等于矩陣的階數，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數。

證明　對于 $n$ 階矩陣 $\mathbf{A}$，由于 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 階子式只有一個 $|\mathbf{A}|$，故當 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 時 $R(\mathbf{A})=n$，當 $|\mathbf{A}|=0$ 時 $R(\mathbf{A})<n$。根據前置定理 4，得證。

因此，可逆矩陣又稱為 滿秩矩陣，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱 降秩矩陣。

2 矩陣的秩與矩陣行數、列數的關系

性質 1　若 $\mathbf{A}$ 為 $m\times n$ 矩陣，則 $0\le R(\mathbf{A})\le \min \{m,n\}$。

證明　根據前置定義 2，顯然成立。

性質 2　$R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})$。

證明　根據前置性質 3，行列式與其轉置行列式相等，因此 ${\mathbf{A}}^T$ 的子式與 $\mathbf{A}$ 的子式對應相等，從而 $R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})$。

3 矩陣的秩與矩陣初等變換的關系

性質 3　若 $\mathbf{A}～\mathbf{B}$，則 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

證明　根據前置定理 5 可知，矩陣 $\mathbf{A}$ 經初等行變換變成矩陣 $\mathbf{B}$ 時，矩陣的秩不變。因此，我們只需要證明矩陣 $\mathbf{A}$ 經初等列變換變成矩陣 $\mathbf{B}$ 時，矩陣的秩也不變即可。

根據前置定理 5，矩陣 ${\mathbf{A}}^T$ 經初等行變換變成矩陣 ${\mathbf{B}}^T$ 時，矩陣的秩不變，即 $R({\mathbf{A}}^T)=R({\mathbf{B}}^T)$。根據性質 2 可知，$R(\mathbf{A})=R({\mathbf{A}}^T)$，$R(\mathbf{B})=R({\mathbf{B}}^T)$，于是有 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

綜上所述，若矩陣 $\mathbf{A}$ 經有限次初等變換變為矩陣 $\mathbf{B}$（即 $\mathbf{A}～\mathbf{B}$），則 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

根據性質 3，我們發現：矩陣的初等變換作為一種運算，其深刻意義在于它不改變矩陣的秩。

根據前置定理 6 替換性質 3 中的條件，得到性質如下：

性質 4　若可逆矩陣 $\mathbf{P}$、$\mathbf{Q}$ 使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$，則 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$。

證明：根據前置定理 6 和性質 3，顯然成立。

4 矩陣的秩和矩陣分塊的關系

性質 5　$\max \{R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B})\}\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$。

證明　因為 $\mathbf{A}$ 的最高階非零子式總是 $(\mathbf{A},\mathbf{B})$ 的非零子式，所以 $R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。同理有 $R(\mathbf{B})\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$。根據以上兩式可得
$$\max \{R(\mathbf{A}),R(\mathbf{B})\}\le R(\mathbf{A},\mathbf{B})$$
設 $R(\mathbf{A})=r$，$R(\mathbf{B})=t$；把 ${\mathbf{A}}^T$ 和 ${\mathbf{B}}^T$ 分別作初等行變換化為行階梯形矩陣 $\tilde{\mathbf{A}}$ 和 $\tilde{\mathbf{B}}$。因為根據性質 2 有 $R({\mathbf{A}}^T)=R(\mathbf{A})=r$，$R({\mathbf{B}}^T)=R(\mathbf{B})=t$，所以 $\tilde{\mathbf{A}}$ 和 $\tilde{\mathbf{B}}$ 中分別包含 $r$ 和非零行和 $t$ 的非零行，從而 $\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)$ 中只含有 $r+t$ 個非零行，并且 $\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)\stackrel{r}{～}\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)$。于是有
$$R(\mathbf{A},\mathbf{B})=R{\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)}^T=R\left(\begin{array}{c}{\mathbf{A}}^T\\ {\mathbf{B}}^T\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{A}}\\ \tilde{\mathbf{B}}\end{array}\right)\le r+t=R(\mathbf{A})=R(\mathbf{B})$$
得證。

特別地，當 $\mathbf{B}=\mathbf{b}$ 為非零列向量時，有
$$R(\mathbf{A})\le R(\mathbf{A},\mathbf{b})\le R(\mathbf{A})+1$$

性質 6　$R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$。

證明　不妨設 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 為 $m\times n$ 矩陣。對矩陣 $\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$ 做初等行變換 $r_i?r_{n+i}$（$i=1,2,?,n$）即得
$$\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)\stackrel{r}{～}\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)$$
根據性質 5，有
$$R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}+\mathbf{B}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)=R\left(\begin{array}{c}\mathbf{A}\\ \mathbf{B}\end{array}\right)=R({\mathbf{A}}^T,{\mathbf{B}}^T{)}^T=R({\mathbf{A}}^T,{\mathbf{B}}^T)\le R({\mathbf{A}}^T)+R({\mathbf{B}}^T)=R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$$
得證。

如果矩陣 $\mathbf{A}$ 的秩等于它的列數，這樣的矩陣稱為 列滿秩矩陣；當 $\mathbf{A}$ 為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣。如果矩陣 $\mathbf{A}$ 的秩等于它的行數，這樣的矩陣稱為 行滿秩矩陣；當 $\mathbf{A}$ 為方陣時，行滿秩矩陣就成為滿秩矩陣。

總結

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