矩阵的秩的性质
前置知識：
- 行列式的性質
- 逆矩陣的性質
- 【定義】矩陣的秩
- 線性方程組與矩陣的秩
- 矩陣初等變換與矩陣乘法的聯系
前置定義 2 設在矩陣 A\boldsymbol{A}A 中有一個不等于 000 的 rrr 階子式 DDD，且所有 r+1r+1r+1 階子式（如果存在的話）全等于 000，那么 DDD 稱為矩陣 A\boldsymbol{A}A 的 最高階非零子式，數 rrr 稱為 矩陣 A\boldsymbol{A}A 的秩，記作 R(A)R(\boldsymbol{A})R(A)。并規定零矩陣的秩等于 000。
說明見 “【定義】矩陣的秩”。
前置性質 3 行列式與它的轉置行列式相等。
證明見 “行列式的性質”。
前置定理 4 若矩陣 A\boldsymbol{A}A 可逆，則 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \ne 0∣A∣=0。
證明見 “逆矩陣的性質”。
前置定理 5 設 A～rB\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}A～rB，則 A\boldsymbol{A}A 與 B\boldsymbol{B}B 中非零子式的最高階數相等。
證明見 “【定義】矩陣的秩”。
前置定理 6 設 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 為 $m \times n $ 矩陣，那么 A～B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A～B 的充分必要條件是存在 mmm 階可逆矩陣 P\boldsymbol{P}P 和 nnn 階可逆矩陣 Q\boldsymbol{Q}Q，使 PAQ=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}PAQ=B。
證明見 “矩陣初等變換與矩陣乘法的聯系“。
1 矩陣的秩與矩陣是否可逆的關系
定理 1 逆矩陣的秩等于矩陣的階數，不可逆矩陣的秩小于矩陣的階數。
證明 對于 nnn 階矩陣 A\boldsymbol{A}A，由于 A\boldsymbol{A}A 的 nnn 階子式只有一個 ∣A∣|\boldsymbol{A}|∣A∣，故當 ∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \ne 0∣A∣=0 時 R(A)=nR(\boldsymbol{A}) = nR(A)=n，當 ∣A∣=0|\boldsymbol{A}| = 0∣A∣=0 時 R(A)<nR(\boldsymbol{A}) < nR(A)<n。根據前置定理 4，得證。
因此，可逆矩陣又稱為 滿秩矩陣，不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱 降秩矩陣。
2 矩陣的秩與矩陣行數、列數的關系
性質 1 若 A\boldsymbol{A}A 為 m×nm \times nm×n 矩陣，則 0≤R(A)≤min?{m,n}0 \le R(\boldsymbol{A}) \le \min \{m,n\}0≤R(A)≤min{m,n}。
證明 根據前置定義 2，顯然成立。
性質 2 R(AT)=R(A)R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A})R(AT)=R(A)。
證明 根據前置性質 3，行列式與其轉置行列式相等，因此 AT\boldsymbol{A}^TAT 的子式與 A\boldsymbol{A}A 的子式對應相等，從而 R(AT)=R(A)R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A})R(AT)=R(A)。
3 矩陣的秩與矩陣初等變換的關系
性質 3 若 A～B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A～B，則 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B)。
證明 根據前置定理 5 可知，矩陣 A\boldsymbol{A}A 經初等行變換變成矩陣 B\boldsymbol{B}B 時，矩陣的秩不變。因此，我們只需要證明矩陣 A\boldsymbol{A}A 經初等列變換變成矩陣 B\boldsymbol{B}B 時，矩陣的秩也不變即可。
根據前置定理 5，矩陣 AT\boldsymbol{A}^TAT 經初等行變換變成矩陣 BT\boldsymbol{B}^TBT 時，矩陣的秩不變，即 R(AT)=R(BT)R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{B}^T)R(AT)=R(BT)。根據性質 2 可知，R(A)=R(AT)R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}^T)R(A)=R(AT)，R(B)=R(BT)R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{B}^T)R(B)=R(BT)，于是有 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B)。
綜上所述，若矩陣 A\boldsymbol{A}A 經有限次初等變換變為矩陣 B\boldsymbol{B}B（即 A～B\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}A～B），則 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B)。
根據性質 3，我們發現：矩陣的初等變換作為一種運算，其深刻意義在于它不改變矩陣的秩。
根據前置定理 6 替換性質 3 中的條件，得到性質如下：
性質 4 若可逆矩陣 P\boldsymbol{P}P、Q\boldsymbol{Q}Q 使 PAQ=B\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}PAQ=B，則 R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})R(A)=R(B)。
證明：根據前置定理 6 和性質 3，顯然成立。
4 矩陣的秩和矩陣分塊的關系
性質 5 max?{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B})max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)。
證明 因為 A\boldsymbol{A}A 的最高階非零子式總是 (A,B)(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})(A,B) 的非零子式，所以 R(A)≤R(A,B)R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})R(A)≤R(A,B)。同理有 R(B)≤R(A,B)R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})R(B)≤R(A,B)。根據以上兩式可得
max?{R(A),R(B)}≤R(A,B)\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)
設 R(A)=rR(\boldsymbol{A}) = rR(A)=r，R(B)=tR(\boldsymbol{B}) = tR(B)=t；把 AT\boldsymbol{A}^TAT 和 BT\boldsymbol{B}^TBT 分別作初等行變換化為行階梯形矩陣 A~\tilde{\boldsymbol{A}}A~ 和 B~\tilde{\boldsymbol{B}}B~。因為根據性質 2 有 R(AT)=R(A)=rR(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A}) = rR(AT)=R(A)=r，R(BT)=R(B)=tR(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{B}) = tR(BT)=R(B)=t，所以 A~\tilde{\boldsymbol{A}}A~ 和 B~\tilde{\boldsymbol{B}}B~ 中分別包含 rrr 和非零行和 ttt 的非零行，從而 (A~B~)\begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix}(A~B~?) 中只含有 r+tr+tr+t 個非零行，并且 (ATBT)～r(A~B~)\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix}(ATBT?)～r(A~B~?)。于是有
R(A,B)=R(ATBT)T=R(ATBT)=R(A~B~)≤r+t=R(A)=R(B)R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix}^T = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix} \le r + t = R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) R(A,B)=R(ATBT?)T=R(ATBT?)=R(A~B~?)≤r+t=R(A)=R(B)
得證。
特別地，當 B=b\boldsymbol{B} = \boldsymbol{b}B=b 為非零列向量時，有
R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1 R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1
性質 6 R(A+B)≤R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B})R(A+B)≤R(A)+R(B)。
證明 不妨設 A\boldsymbol{A}A 和 B\boldsymbol{B}B 為 m×nm \times nm×n 矩陣。對矩陣 (A+BB)\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix}(A+BB?) 做初等行變換 ri?rn+ir_i - r_{n+i}ri??rn+i?（i=1,2,?,ni = 1,2,\cdots,ni=1,2,?,n）即得
(A+BB)～r(AB)\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} (A+BB?)～r(AB?)
根據性質 5，有
R(A+B)≤R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)≤R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T)^T = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T) \le R(\boldsymbol{A}^T) + R(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B}) R(A+B)≤R(A+BB?)=R(AB?)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)≤R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)
得證。
如果矩陣 A\boldsymbol{A}A 的秩等于它的列數，這樣的矩陣稱為 列滿秩矩陣；當 A\boldsymbol{A}A 為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣。如果矩陣 A\boldsymbol{A}A 的秩等于它的行數，這樣的矩陣稱為 行滿秩矩陣；當 A\boldsymbol{A}A 為方陣時，行滿秩矩陣就成為滿秩矩陣。
總結
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