矩陣乘積的秩

矩陣乘積 $AB$ 的秩和矩陣 $A,B$ 的秩有什么關系呢？

首先直觀上說明。線性映射 $A\mathbf{x}=\mathbf{y}$ ，當矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，即無關組時，映射是單射，所以定義域內一個向量 $\mathbf{x}$ 對應值域內一個向量 $\mathbf{y}$ ，值域內一個向量 $\mathbf{y}$ 也對應定義域內一個向量 $\mathbf{x}$ ，或者說，在值域和定義域內，該映射是一一映射，所以值域內所有向量張成空間的維度等于定義域內所有向量張成空間的維度。 $AB$ 的定義域是矩陣 $B$ 的向量組，值域是矩陣 $AB$ 的向量組，所以它們張成的空間維度相等，即 $rankAB=rankB$ ，是秩恒等映射。當矩陣 $A$ 不是列滿秩矩陣時，即相關組時，定義域內存在很多向量 $\mathbf{x}$ 對應值域內零向量 $0$ ，或者說，在值域和定義域內，該映射是多映射，不是一一映射。零向量 $0$ 不能張開空間，故變換后的空間維度會縮小，秩減小，即 $rankAB\le rankB$。當矩陣 $B$ 存在列向量滿足 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=0$ 時，變換后秩會減小；當不存在列向量滿足 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=0$ 時，即使矩陣 $A$ 不是列滿秩矩陣，變換后的秩也不會減小。 $rankAB=rankB?k$ ，其中 $k$ 是矩陣 $B$ 列向量組的極大無關組中滿足 $A{\mathbf{b}}_{\mathbf{i}}=0$ 列向量的數量。同理可得， $rankAB=rankA?k$ ，其中 $k$ 是矩陣 $A$ 行向量組的極大無關組中滿足 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{r}\mathbf{i}}^{\mathbf{T}}B=0$ 行向量的數量。

其次進行理論證明。矩陣乘積 $AB=[A{\mathbf{b}}_1,A{\mathbf{b}}_2,?,A{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}]$ 中每個向量都是矩陣 $A$ 列向量組的線性組合，所以矩陣 $AB$ 列向量都位于矩陣 $A$ 列空間內，其張成列空間自然是矩陣 $A$ 列空間的子空間，故矩陣乘積 $AB$ 的秩小于等于矩陣 $A$ 的秩，即
$$rankAB\le rankA$$

矩陣乘積 $AB=?\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_{\mathbf{r}1}^{\mathbf{T}}B\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}2}^{\mathbf{T}}B\\ ?\\ {\mathbf{a}}_{\mathbf{r}\mathbf{m}}^{\mathbf{T}}B\end{array}?$ 中每個向量都是矩陣 $B$ 行向量組的線性組合，所以矩陣 $AB$ 行向量都位于矩陣 $B$ 行空間內，其張成行空間自然是矩陣 $B$ 行空間的子空間，故矩陣乘積 $AB$ 的秩小于等于矩陣 $B$ 的秩，即
$$rankAB\le rankB$$

上面兩不等式什么情況下取等號呢？矩陣 $AB$ 列向量組雖然位于矩陣 $A$ 列空間內，但當其為矩陣 $A$ 列空間的基時， $rankAB=rankA$ ，顯然對矩陣 $B$ 提出要求。矩陣 $AB$ 行向量組雖然位于矩陣 $B$ 行空間內，但當其為矩陣 $B$ 行空間的基時， $rankAB=rankB$ ，顯然對矩陣 $A$ 提出要求。

重要性質 矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，對任意矩陣 $B$ ，有 $rankAB=rankB$ 。

證：首先證明當矩陣 $B$ 是無關組時，矩陣 $AB$ 也是無關組。只需證 $AB\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 時， $\mathbf{x}=0$ 。 $AB\mathbf{x} = A(B\mathbf{x}) = \mathbf{0} $ ，因為矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣，是無關組，所以 $B\mathbf{x}=0$ ，又因為矩陣 $B$ 是無關組，所以 $\mathbf{x}=0$ ，得證。矩陣 $AB$ 和矩陣 $B$ 都是無關組，所以它們列空間維度等于列數，又 $AB$ 列數等于矩陣 $B$ 列數，所以矩陣 $AB$ 和矩陣 $B$ 的列空間維度相等，即 $rankAB=rankB$ 。

其次當矩陣 $B$ 是相關組時，取其極大無關組 $B^{\prime }$ ，根據上面結論，得 $rankA{B}^{\prime }=rank{B}^{\prime }$ ，因為 $rankAB=rankA{B}^{\prime }=rank{B}^{\prime }=rankB$ 。

矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣，是 $rankAB=rankB$ 的充分條件，不是必要條件。

重要性質 矩陣 $B$ 是行滿秩矩陣時，對任意矩陣 $A$ ，有 $rankAB=rankA$ 。

證法同理，把矩陣 $A$ 看成行向量組即可。

還有一種證法，根據 $rankA=rank{A}^T$ ，矩陣 $B$ 是行滿秩矩陣時，即矩陣 $B^T$ 是列滿秩矩陣 ，則 $rankAB=rank(AB{)}^T=rank{B}^T{A}^T=rank{A}^T=rankA$ 。

矩陣 $B$ 是行滿秩矩陣，是 $rankAB=rankA$ 的充分條件，不是必要條件。

重要性質 矩陣相乘，秩不增加，即 $rankAB\le min(rankB,rankA)$ 。矩陣 $A$ 列滿秩時，對任意矩陣 $B$ 取等號；矩陣 $B$ 行滿秩時，對任意矩陣 $A$ 取等號。

重要性質 可逆矩陣 $P,Q$，則 $rankPA=rankAQ=rankPAQ=rankA$ ，即可逆矩陣變換保持秩不變。

因為可逆矩陣是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣。該性質對證明矩陣秩關系十分重要。

這就能回答開頭提到的兩個問題。若矩陣 $A$ 、$B$ 滿足 $AB=\mathbf{O}$ ，當矩陣 $A$ 是列滿秩矩陣時，$rankB=rank\mathbf{O}=0$ ，所以 $B=\mathbf{O}$ ；當矩陣 $B$ 是行滿秩矩陣時，$rankA=rank\mathbf{O}=0$ ，所以 $A=\mathbf{O}$ 。這一結論通常稱為矩陣乘法的消除律。

線性變換把線性空間變換為線性空間，這兩個空間的關系是，變換后的空間維度不會增加，只可能減小。矩陣的秩越大，認為矩陣包含的信息量越多，例如 $0$ 秩矩陣是零矩陣，無任何信息。滿秩矩陣，列向量組是基，包含信息最多，因為基可以表示空間任意向量。 行滿秩矩陣，列向量組的極大無關組是基，包含信息也最多，但其包含冗余信息，因為除了基向量外，還有其它向量，這些向量就是冗余向量。從信息量角度看，線性變換可能會損失矩陣的信息，因為秩變小了，所以是有損變換。只有變換矩陣的列向量組是無關組時，才是無損變換。再從一個角度看，矩陣 $A$ 是列滿秩時，是無損變換，此時矩陣 $A$ 的行數 $m$ 大于等于列數 $n$ ，矩陣 $B$ 列向量維度是 $n$ ，變換后矩陣 $C=AB$ 列向量維度是 $m$ ，維度提高了。所以線性變換只有升維變換才有可能保持秩不變，信息量不減小，降維變換可能會損失信息。

因為可逆矩陣是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣。該性質對證明矩陣秩關系十分重要。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3.2 矩阵乘积的秩的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。