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• 一、使用匈牙利法求解下面的指派問題
• 二、第一步 : 變換系數矩陣 ( 每行每列都出現 0 元素 )
• 三、第二步 : 試指派 ( 找獨立 0 元素 )

一、使用匈牙利法求解下面的指派問題

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四人分別完成四項工作所用時間 :

$A$$B$$C$$D$

甲	$2$	$15$	$13$	$4$
乙	$10$	$4$	$14$	$15$
丙	$9$	$14$	$16$	$13$
丁	$7$	$8$	$11$	$9$

二、第一步 : 變換系數矩陣 ( 每行每列都出現 0 元素 )

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先寫出指派問題的系數矩陣 :

$(c_{ij})=?\begin{array}{cccccc}& 2& 15& 13& 4& \\ & & & & & \\ & 10& 4& 14& 15& \\ & & & & & \\ & 9& 14& 16& 13& \\ & & & & & \\ & 7& 8& 11& 9& \end{array}?$

使每行都出現 $0$ 元素 : $(c_{ij})$ 系數矩陣中 , 每行都 減去該行最小元素 ;

• 第 $1$ 行減去最小值 $2$ ;
• 第 $2$ 行減去最小值 $4$ ;
• 第 $3$ 行減去最小值 $9$ ;
• 第 $4$ 行減去最小值 $7$ ;

$(c_{ij}^{\prime })=?\begin{array}{cccccc}& 0& 13& 11& 2& \\ & & & & & \\ & 6& 0& 10& 11& \\ & & & & & \\ & 0& 5& 7& 4& \\ & & & & & \\ & 0& 1& 4& 2& \end{array}?$

此時發現有兩列 , 第 $4$ 列 , 第 $5$ 列 , 沒有 $0$ 元素 , 這兩列每列都減去最小值 :

• 第 $3$ 列減去最小值 $4$ ;
• 第 $4$ 列減去最小值 $2$ ;

最終得到行列都有 $0$ 元素的系數矩陣 $(b_{ij})$ :

$(b_{ij})=?\begin{array}{cccccc}& 0& 13& 7& 0& \\ & & & & & \\ & 6& 0& 6& 9& \\ & & & & & \\ & 0& 5& 3& 2& \\ & & & & & \\ & 0& 1& 0& 0& \end{array}?$

三、第二步 : 試指派 ( 找獨立 0 元素 )

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基于上一步的行列都有 $0$ 元素的系數矩陣 ,

$(b_{ij})=?\begin{array}{cccccc}& 0& 13& 7& 0& \\ & & & & & \\ & 6& 0& 6& 9& \\ & & & & & \\ & 0& 5& 3& 2& \\ & & & & & \\ & 0& 1& 0& 0& \end{array}?$

進行試指派 ;

找出每行的獨立 $0$ 元素 ,

優先從唯一選擇開始 ,

第 $2$ 行只有 $1$ 個 $0$ 元素 , 該元素是獨立 $0$ 元素 ;

第 $3$ 行只有 $1$ 個 $0$ 元素 , 該元素是獨立 $0$ 元素 ( 紅色矩形框 ) , 位于第 $1$ 列 ; 同時第 $1$ 列中的其它 $0$ 元素標記為 廢棄 $0$ 元素 ( 綠色矩形框 );

第 $1$ 行和第 $4$ 行都有多個 $0$ 元素 ;

然后從列里面找獨立 $0$ 元素 , 第 $1$ 列 和 第 $2$ 列都已經找到了 $0$ 元素 , 這里看 第 $3$ 列 和 第 $4$ 列 ;

第 $3$ 列有 獨立 $0$ 元素 ( 紅色矩形框 ) ; 位于第 $4$ 行 , 將第 $4$ 行的其它 $0$ 元素標記為 廢棄 $0$ 元素 ( 綠色矩形框 ) ;

第 $4$ 列有 獨立 $0$ 元素 ( 紅色矩形框 ) ; 位于第 $1$ 行 , 將第 $1$ 行的其它 $0$ 元素標記為 廢棄 $0$ 元素 ( 綠色矩形框 ) , 已經標記過了 , 不用再進行標記 ;

這里第一次指派就找到了最優解 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】匈牙利法 ( 匈牙利法示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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