基于蒙特卡洛模型的排隊問題求解

摘要

? ? ? ? 排隊問題在在銀行服務過程中十分常見，本文在顧客到達間隔時間和服務時間的分布已知條件下，在排隊論的基礎上通過蒙特卡洛方法對每日銀行接待顧客數量和顧客平均等待時間進行模擬，一次循環求解出接待客戶數量為45個，每個客戶平均等待時間為21.0281分鐘，在100個工作日內，銀行每日平均服務的客戶人數為42.976個，每日客戶的平均等待時間為29.0291分鐘。

一、問題重述

? ? ? ? 假設某銀行工作時間只有一個服務窗口，工作人員只能逐個的接待顧客。當來的顧客較多時，一部分顧客就需要排隊等待。

? ? ? ? 假設: 1) 顧客到來的間隔時間服從參數為0.1的指數分布? ?2) 每個顧客的服務時間服從均值為10，方差為4的正態分布(單位為分鐘，若服務時間小于1分鐘，則按1分鐘計算)? ?3)排隊按先到先服務的規則，且不限制隊伍的長度，每天工作時長為8小時。

? ? ? ? 試回答下面的問題: 1) 模擬一個工作日，在這個工作日共接待了多少客戶，客戶平均等待的時間為多少?? ??2)模擬100個工作日，計算出平均每日接待客戶的個數以及每日客戶的平均等待時長。

二、問題分析

? ? ? ? 問題一要求我們根據每個顧客到來的間隔時間和每個顧客的服務時間的概率分布來估算一天內該銀行所接待的客戶數量和客戶的平均等待時間。根據排隊論的知識，可以用以下示意圖對問題進行解釋：

圖1? 顧客排隊示意圖

為第個客戶到達的時間，為第個客戶開始服務的時間，為第個客戶服務結束的時間。其中第個客戶和第個客戶到達的間隔時間服從參數為0.1的指數分布，第個客戶的服務持續時間服從均值為10，方差為4的正態分布。

? ? ? ? 圖中第一個顧客在時刻到達，由于其前面沒有顧客，所以在時刻開始接受服務，并在時刻結束服務；接著第二名顧客在時刻到達，由于第一名顧客的結束服務時間早于第二名顧客的到達時間，所以第二名顧客到達后便可立即開始接受服務，并在時刻結束服務；第三名顧客的到達時間要早于第二名顧客的結束時間，所以第三名顧客需要等待到第二名顧客結束服務后才能開始接受服務，即，并在時刻結束服務；在第四名客戶接受服務時，由于其結束服務時間要晚于第五名顧客和第六名顧客的到達時間，所以這兩名顧客需要同時等待第四名顧客結束服務，然后第五名顧客開始接受服務，第六名顧客繼續等待在第五名顧客結束服務后再開始接受服務。

? ? ? ? 在結束時刻到達時，統計所有已經接受服務的顧客數量，便可求出在該工作日內共接待了多少名顧客；將所有顧客的等待時間求和再除以顧客數量，便求得顧客的平均等待時間。

? ? ? ? 針對問題二，用問題一的求解方法重復循環100次，再將這一百次得到的結果求取平均值，便可得到平均每日接待顧客的個數和每個客戶的平均等待時間。

三、模型的建立與求解

? ? ? ? 根據上文所做的分析，第名顧客的到達時間、開始服務時間、結束服務時間、到達間隔時間和服務持續時間之間存在如下的函數關系：

第個客戶到達時間等于第個客戶到達時間加到達間隔時間，第個客戶結束服務時間等于該客戶開始服務時間加服務持續時間，第個客戶開始服務時間取決于該客戶到達時間和上一個客戶服務結束時間的最大值。同時我們假設在計時剛開始時有第0位客戶，到達時間，開始服務時間，服務結束時間。?

? ? ? ?根據以上關系可用蒙特卡洛方法對其進行模擬，在MATLAB中用exprnd(10)隨機生成顧客到來的間隔時間，用normrnd(10,2)隨機生成每個客戶的等待時間，將這兩個隨機變量代入上文的迭代式中，不斷循環直至總時間到達480分鐘，可求得該次循環所得的接待客戶數量為45個，每個客戶平均等待時間為21.0281分鐘。

? ? ? ? 將上述步驟重復100次并取平均值，得到在100個工作日中，銀行每日平均服務的客戶人數為42.976個，每日客戶的平均等待時間為29.0291分鐘。

四、模型的評價

? ? ? ?蒙特卡洛方法適用于無法通過數學計算求得解析解的情況，在可以求得精確解的情況下，使用蒙特卡洛方法便不再適宜。例如本文中的接待客戶數量和平均等待時間都可以通過概率論的方法求得精確值，如果通過蒙特卡洛方法求估計值便會降低文章水平。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基于蒙特卡洛模型的排队问题求解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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