基礎數(shù)論（入門，貌似還沒）

嫖了學長的pdf

常用運算符

基本常識（就很…）

基本定理（最好有些簡單題來把基本定理練熟）

常用算法

埃氏篩
從整數(shù)中篩去合數(shù)，留下素數(shù)
考慮給定一個素數(shù)x那么很明顯所有x的倍數(shù)都不是素數(shù)，我們只需要枚舉一個系數(shù)i,將所有的xi標記為合數(shù)即可
復雜度參考前面的常識~O(n log log n)

for(int i=2;i<maxn;++i) { for(int j=i;j<maxn;j+=i) { notPrime[j]=1; } }

一點點小優(yōu)化，可以發(fā)現(xiàn)對于所有j<i^2, 一定在之前已經被篩掉l了
所以可從i^2開始篩
線性篩
大部分只需要判斷素數(shù)的問題，埃氏篩已經夠優(yōu)秀了
但是一部分題需要更大的素數(shù)范圍或需要快速求一些積性函數(shù)的問題，此時需要用到線性篩
反正我學會線性篩就再沒用過埃氏篩
我們發(fā)現(xiàn)埃氏篩在篩的過程中，同一個數(shù)字會被篩去很多次，正是這一步限制了它的效率
線性篩的優(yōu)化在于每個數(shù)字只會被它的最小素因子篩去，每個數(shù)字只會被篩去一次
具體做法：假設當前枚舉到整數(shù)i,枚舉當前所有小于等于i的素數(shù)記作pj，若i不是pj的倍數(shù)，將ipj篩去，此時pj是整數(shù)ipj的最小素因子
因為每個數(shù)只會被它的最小素因子篩去，復雜度~O（n）

for(int i=2;i<maxn;++i) { if(!notPrime[i]) { prime[tot++] = i; }for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<maxn;++j) { notPrime[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) break; } }

用線性篩求積性函數(shù)

for (int i = 2;i < maxn;++i) {if (!notPrime[i]) {prime[tot++] =i;f[i] =func();g[i] = f[i];}for (int j = 0;j < tot && i * prime[j] <maxn;++j) {notPrime[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {int ret = 1, x = i;while (x % prime[j] == 0) {ret *= prime[j];x /= prime[j];}f[i * prime[j]] = f[i] / g[i] * f[ret];g[i * prime[j]] = f[ret];break;}f[i * prime[j]] = f[i] * f[prime[j]];g[i * prime[j]] = f[prime[j]];}}

一般來說這些函數(shù)都會有一些方便計算的性質，中間求ret的部分可以被極大的簡化
快速冪

int quickpow(int a, int n, int mod) {int ans = 1;while (n) {if (n & 1) ans = ans * a % mod;a = a * a % mod;n >>= 1;}return ans;}

矩陣快速冪

輾轉相除法/歐幾里得算法

int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

擴展歐幾里得

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, x, y);int tmp = x;x = y;y = tmp - y * (a / b);return d;}

中國剩余定理

gcd性質
1、結合律,gcd(a,b,c)=gcd(a,gcd(b,c))=gcd(gcd(a,b),c)
2、gcd(a,b)=gcd(b,a/b)=gcd(b,∣a?b∣)=gcd(a,∣a?b∣)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的基础数论（入门）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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