漫射光層析成像的正問題理論模型（一）—— 蒙特卡洛模型

??組織光學領域的根本問題是光在生物組織中的傳輸問題。目前有三種理論來研究光在介質中的傳輸與散射：一種是基于隨機數思想的離散統計理論，也就是Monte Carlo方法，它主要通過描述單個光子與組織的相互作用來模擬光在生物組織中的吸收和散射，然后通過發射大量的光子來得到宏觀的光強、反射率、透射率等物理量從而描述光在介質中的傳輸行為。第二種是通過求解輻射傳輸方程(Radiance TransportEquation，RTE)來描述光在介質中傳輸的輻射傳輸理論。第三種是通過對RTE做一定的近似處理從而使時間效率得到大幅提高的漫射方程理論，它將解析理論中對RTE的求解通過做漫射近似(DA，Diffusion Approximation)轉換為對漫射方程(DE，Diffusion Equation)的求解從而減少計算量加快計算速度。通過這三種方法，我們可以推導出在特定光照條件下確定光學參數分布的生物組織中的漫射光強分布及其他物理量的理論值，從而描述光在生物組織中的傳輸行為。
??Monte Carlo(中文譯為蒙特卡洛)方法是一種非確定性方法，在數值模擬領域，我們通常用Monte Carlo方法來表示隨機實驗。Monte Carlo是地中海小國摩納哥的第一大城市，以Monte Carlo賭場聞名于世。20世紀40年代，John Von Neumann,Stanislaw Ulam和Nicolas Metropolis在洛斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計劃工作時，用隨機抽樣的方法在計算機上模擬了中子連鎖反應，因為Ulam的叔叔經常在Monte Carlo賭場輸錢，他們把這種方法叫做Monte Carlo方法。
??Monte Carlo方法是一種基于統計學的數值計算方法，以隨機抽樣為主要手段，其核心思想是使用隨機數或更為常見的偽隨機數來解決一些計算問題，很適合用在一些復雜系統的仿真中，例如空氣動力學計算或者宏觀經濟學中。與那些通過求解一組不同的方程得到確定的解來解決問題的確定性方法不同，MonteCarlo方法是通過發射大量的相互獨立的隨機事件，并對其結果進行分析從而得到所求解問題的概率分布，再用統計方法得到這種概率分布的數字特征，從而進一步得到實際問題的數值解的一種方法。由于與其他的一些確定性方法相比，Monte Carlo方法在某些條件下的求解更為方便、快捷和靈活，所以他已經被廣泛應用在粒子輸運計算、量子熱力學計算、金融工程學計算、生產管理以及生物醫學等領域中。
??在使用MC方法來解決相關問題時，首先要對所求解的問題建立一個便于實現且具有一定意義的概率統計模型，這個模型的概率分布能夠反映我們要求解的問題；然后確定隨機變量的產生方法，也就是如何根據這個模型對隨機數進行抽樣，包括隨機數或偽隨機數的產生以及根據概率統計模型的特點建立起產生隨機變量的抽樣方法；接著按照實驗的規則，進行成千上萬次相互獨立的隨機抽樣實驗，得到實驗結果，分析其數學特性，再用統計的方法求出所求解的數學期望、方差標準差等值，從而對問題中的各個變量的關系進行研究。
??模擬光子在混濁介質中的傳輸也是Monte Carlo方法被證明適合使用的一個領域，尤其是在生物成像領域的應用已經有多篇文章發表在國際知名的期刊和雜志上，例如人腦功能成像、乳腺癌的檢測、以及小動物的成像等。憑借其在實際應用中的準確性，靈活性和通用性，Monte Carlo方法已經成為解決這些問題的標準方法，尤其是在低散介質(散射系數較小)中，其誤差相比于其他方法更小，甚至可以用來作為評價其他模型的標準。光在不均勻的人體組織中的傳輸的模擬需要一個準確而高效的模型，Monte Carlo方法能夠滿足這樣的要求。
??使用MC方法來模擬光在介質中傳輸的原理是用隨機數來描述每次光在組織中傳輸時的步長的變化以及由于散射引起的散射角的變化，從而將確定性問題轉換為隨機問題。在向組織發射大量的光子，通過模擬每個光子在組織內部的按照與其宏觀物理行為相一致的規律和組織隨機發生相互作用，通過對這些大量的隨機事件的追蹤和統計來獲得我們所需的宏觀的物理量如光強等。MC光傳輸模型是忽略光的波動性如干涉和衍射效應的。
??如圖1所示，MC仿真的流程為：首先生成光子并為其分配隨機數，這個隨機數稱為這個光子的種子，發射這個光子，由這個隨機數可以得到光子的步長即下一次散射會走的距離，由光子現在所處的位置以及它的步長可以知道光子的這次散射是否會到達樣品的邊界，也就是說光子的下一個位置是否還在樣品內部。如果沒有到達邊界，則使光子移動相應的步長到下一次發生散射的位置，確定光子由于吸收而引起的強度衰減，并確定下一次散射所引起的方向變化。如果到達邊界則先將光子移動到邊界上，計算由這段吸收造成的強度衰減，再確定是反射還是透射，如果反射則進行下一次的散射行為，如果透射則停止對這個光子的追跡。如果光子的權重小于閾值或者光子已經出射，則對這個光子的追蹤結束，開始追蹤下一個光子。當所有的光子都被發射并追蹤完畢后，模擬結束。
??整個過程可以總結為：光子的產生，軌跡的產生，吸收，消亡和檢測。

圖1：MC仿真流程圖 ?? Monte Carlo模型的優點思想極為簡單，無需建立輻射傳輸方程RTE或輸運方程DE，也無需為求解方程而煞費苦心地需找各種近似方程或數值解，只要知道組織的基本光學參數及其分布，Monte Carlo模型就可以根據追蹤各個光子在組織中的傳輸來計算出漫射光強等各種物理量理論值的時間空間分布，從而描述光子的輸運過程，但是它有一個致命的缺點，就是計算時間太長。Monte Carlo方法以概率論為基礎，實質上是使用計算機來模擬很大數量(如 $10^9$)的光子隨機移動，然后用統計的方法來得到結果，其仿真輸出的誤差正比于隨機變量的標準差，因而 反比于取樣次數(模擬中發射的總光子數)。
??光在介質中傳輸時其強度會隨著傳輸距離的增大而指數衰減，所以為了達到同樣的相對誤差，光源與探測器的距離越大，所需的計算時間t也越長。也就是說，在相同的預設精度條件下，介質的尺寸越大，MC仿真所需要的時間也越長并且是一個指數增加的關系，這才是MC仿真最為耗時的地方。所以，提高MC仿真的時間效率，加快它在預設精度下的收斂，對于MC仿真的實用意義重大。
??近年來，為了改善MC方法的性能，科學家提出了許多技術手段或者理論模型來加快MC仿真：例如在硬件上對MC仿真進行加速的基于GPU(GraphicProcessorUnit，圖形處理單元)的MC，它利用近年來快速發展的多處理器內核以及多線程并行計算理論在硬件上對MC仿真進行加速，通常來說，基于GPU的MC方法可以比基于CPU的MC快幾百倍到上千倍之多。還有在算法上對MC方法進行改進的白蒙特卡(WMC,White，Monte Carlo)和擾動蒙特卡洛(PMC,Perturbation Monte Carlo)方法，它利用光子種子的概念和對種子的一些處理來對MC進行算法上的改進，經過改進后的MC方法相比于傳統的MC仿真加速比也可以達到幾百倍到上千倍。有了這兩種手段，MC方法的計算速度得到了有效的提高，向實用化的方向又邁出了一大步。
??雖然這些手段使得MC方法的時間效率得到了大幅度的提高，計算時間大大減少，但是與其他方法如求解RTE或DE相比，它仍然是一種較慢的方法，如對 一定尺寸大小的人腦成像，用計算機通過MC來仿真可能需要一個小時或更多的時間，但求解DE通常只需要幾秒鐘的時間，而求解RTE一般來說也只需要幾分鐘。所以MC方法仍然需要繼續加速才能夠更加適用于日常的臨床診斷和治療。
??還有一些其他的比較通用的用來解決光在非均勻介質中傳輸的方法，例如求解輻射傳輸方程RTE，雖然它在數學上是嚴格的，但是實際應用時它的求解過于復雜，計算規模巨大，且只有少數情況下才能夠得到精確解，其他情況無法直接求解，所以一般不用它來作為解決光在混濁介質中傳輸的正問題模型。而對RT做了輸運近似的漫射近似理論雖然從效率上相比RTE有了很大的提高，但是它只適用于吸收相對較弱而散射較強的介質 $({\mu }_a/{\mu }_s?0.01)$，當吸收增強如以 $({\mu }_a/{\mu }_s>0.05)$時漫射近似理論的誤差會顯著變大。因此它的時間效率是以求解精度為代價的，只有在高散射介質中它的誤差才能與其他方法相當。但是實際使用時有很多生物樣品并不能滿足高散射低吸收的這個條件，例如人腦的腦脊液層，乳腺的囊腫區等，因此它并不適用于這些領域的研究。所以綜合效率以及精度的考量，Monte Carlo方法是一種性能良好的可以用于描述光在介質中傳輸的正問題模型。

郭則飛. 蒙特卡洛仿真在漫射光層析成像中的應用[D].

總結

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