數論入門

• 一、整除的性質
• 二、模運算與同余運算
• • 1.模運算及其性質
  • 2.同余運算及其性質
• 三、快速冪
• • 1. 快速冪
  • 2.光速冪
• 四、最大公因數與最小公倍數
• • 輾轉相除法（歐幾里得算法）
• 五、素數與素數篩
• • 1.素數
  • 2.素數篩
• 六、逆元
• • 1.歐拉定理
  • 2.費馬小定理

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躺在草稿箱里的大一寫的博客（個人感覺寫的還行）

一、整除的性質

1. 整除：若a%b==0,則稱a能被b整除或b能整除a，記作b | a.

2. 整除性質：

（1）若 a|b <=> -a|b <=> a|-b <=> |a| | |b|

（2）若 a|b，b|c $?$ a|c

（3）若 a|b，a|c $?$ a|(bx+cy) 其中 x，y 為任意整數

（4）若 a|b $?$ am | bm 其中 m 為非零整數

（5）若 a|b，b|a $?$ b = ±a <=> |b|=|a|

（6）若 a|bc，且 a 與 c 互質，則 a|b

（7）若a|b，a|c，且b與c互質，則a|bc

（8）若a|b，c為任意整數，則b|ac

二、模運算與同余運算

1.模運算及其性質

（1） 取模運算：a % p（a mod p），表示 a 除以 p 的余數。

（2） 模 p 加法：(a + b) % p = (a%p + b%p) % p

（3） 模 p 減法：(a - b) % p = (a%p - b%p) % p

（4） 模 p 乘法：(a * b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p

（5） 冪模 p：(a^b) % p = ((a % p)^b) % p

（6） 模運算滿足結合律、交換律和分配律。

（7） a≡b (mod n) 表示 a 和 b 模 n 同余，即 a 和 b 除以 n 的余數相等

注意：模運算無除法，不可使用(a / b) % p = (a%p / b%p) % p，遇到除法取模時，可求其乘法逆元

2.同余運算及其性質

（1）反身性：a≡a (mod m)；

（2）對稱性：若 a≡b(mod m)，則 b≡a (mod m)；

（3）傳遞性：若 a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則 a≡c(mod m)；

（4）同余式相加：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則 a±c≡b±d(mod m)；

（5）同余式相乘：若 a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則 ac≡bd(mod m)。

三、快速冪

1. 快速冪

假設要求xⁿ ，那么原題可以很輕松的表示為：xⁿ= (((x²)²)^2…)。這樣只要做k次平方運算就能解決，時間復雜度就從O(n)下降到 log(n),只要冪運算的冪可以寫成 2^k 的形式，就可以用上面的方法降低時間復雜度。所以我們可以將任意的實數n改寫有限個2^k的形式的相乘。

例如假設 xⁿ 等于 3²² 。x = 3， n = 22 = 10110（B），則有3²² = 3¹⁶ $\times$ 3⁴$\times$ 3²，即3¹⁰¹¹⁰ = 3¹⁰⁰⁰⁰ $\times$ 3⁰⁰¹⁰⁰$\times$ 3⁰⁰⁰¹⁰。

代碼樣例：

typedef long long ll; ll quick_pow(ll a, ll n) //快速冪 a^n {ll ans = 1, base = a;while (n) {if (n & 1) ans = ans * base;base = base * base; //計算1所在的位置的取值n >>= 1; //二進制右移}return ans; }

快速冪取模：

typedef long long ll; ll quick_pow(ll a, ll n, ll mod) //快速冪取模 a^n % mod {ll ans = 1, base = a;while (n) {if (n & 1) ans = ans * base % mod;base = base * base % mod; n >>= 1; }return ans; }

- 另一種理解方法：

• 當b為偶數時，xⁿ 可以轉為 x^2 的 $\frac{b}{2}$ 次方。
• 當b為奇數時，xⁿ 可以轉為 x^2 的 $\frac{b}{2}$ 次方，再乘以 x

代碼解釋：

ll pow(ll a,ll n) //快速冪 a^n {ll ans = 1, base = a;while(n){if(n & 1) ans = ans * base ; //n為奇數base = base * base ; //n為偶數時，底數平方n >>= 1; //指數減半}return ans; }

2.光速冪

四、最大公因數與最小公倍數

輾轉相除法（歐幾里得算法）

以除數和余數反復做除法運算，當余數為 0 時，取當前算式除數為最大公約數

• 引入定理： gcd(a,b) = gcd(b, a %b)

gcd代碼：

int gcd(int a, int b) {int Rem;while (b > 0) {Rem = a % b;a = b;b = Rem;}return a; }

gcd代碼簡化：

int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }

定理：a、b 兩個數的最小公倍數乘以它們的最大公約數等于 a 和 b 本身的乘積。

• lcm(a,b) * gcd(a,b) = a * b

在求 lcm 時，如果將 lcm 寫成 a * b / gcd(a,b)，a*b 可能會溢出，正確的方法應該是先除后乘，即：lcm(a,b) = a / gcd(a,b) * b

lcm代碼：

int lcm(int a, int b) {return a / gcd(a, b) * b; }

多個數（a1, a2, a3…am）的 lcm ，先求出 a1,a2 的 lcm ，再求出 lcm(lcm(a1,a2), a3)……

五、素數與素數篩

1.素數

• 質數是指在大于 1 的自然數中，除了 1 和它本身以外不再有其他因數的自然數

判斷素數代碼：

bool is_prime(int num) {for (int i = 2; i * i <= num; i++) {if (num % i == 0)return false;}return true; }

2.素數篩

• 素數篩就是快速篩出素數的算法

1.1 埃篩

• 復雜度 O(nloglogn)

埃篩代碼：

const int MAXN = 1e6 + 5; bool is[MAXN];//is[i] 1 is prime ， 0 is not a prime int prime[MAXN], cnt = 0; void getprime() {memset(is, 1, sizeof(is));is[0] = is[1] = 0;for (int i = 2; i < MAXN; i++) {if (is[i]) {prime[cnt++] = i;for (int j = 2; i * j < MAXN; j++) {is[i * j] = 0;}}} }

1.2 線性篩

• 復雜度 O(n)

線性篩代碼：

const int MAXN = 1e6 + 5; bool is[MAXN];//is[i] 1 is prime ， 0 is not a prime int prime[MAXN], cnt = 0;void getprime() {memset(is, 1, sizeof(is));is[0] = is[1] = 0;for (int i = 2; i < MAXN; i++) {if (is[i]) {prime[cnt++] = i;}for (int j = 0; j < cnt; j++) {if (i * prime[j] > MAXN) //判斷數組下標是否越界break;is[i * prime[j]] = 0;if (i % prime[j] == 0) //根據最小素數因子篩除，避免重復篩選break;}} }

六、逆元

1.歐拉定理

• 若 n,a 為正整數，且 n,a 互質，則:a ^ $\phi$(n) ≡ 1(mod n)

2.費馬小定理

• 如果 p 是一個質數，而整數 a 不是 p 的倍數，則有 a ^（p-1）≡1（mod p）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论入门学习笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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