函數型數據分析若干方法及應用

【摘要】：許多領域所收集到的樣本觀測數據在數據空間中會呈現出一種明顯的函數型特征,更多表現形式為光滑的曲線或連續的函數。在對函數型數據進行分析時,將觀測到的數據(函數)看作一個整體,而不是一串數字,這是函數型數據分析方法與傳統統計分析方法的本質區別。函數型數據分析的目標和傳統統計學分析的目標基本一致,即：選用對進一步分析有利的方法來描述數據；為突出不同特征而對數據進行展示；研究數據類型的重要來源和數據之間的變化；利用輸入(自變量的信息)來解釋輸出(因變量)的變化情況；對兩組或者更多的某種類型的變量數據進行比較分析等等。

本文圍繞上述目標,構建了一個比較完善、系統的函數型數據分析方法的理論框架。并在函數型數據分析方法的應用方面有所突破和拓展。主要從以下幾個方面進行深入地研究。

1、基函數的選擇。基函數展開是將觀測得到的離散數據點平滑法預處理的重要手段。我們比較了最常用的傅里葉基函數、Bernstein基函數、B-樣條基函數的各自優缺點以及它們的適用范圍。更重要的是,本文構造出另外一些基函數：非均勻有理B-樣條基函數、三角基函數和混合Bezier類基函數。并且指出,非均勻有理B-樣條基函數克服了常用基函數無法準確描述曲線劇烈波動程度的缺點。三角基函數,提供了一個更加廣闊的思路。利用該基函數構造的函數型數據曲線在滿足一、二階連續性方面減弱了多項式曲線要求的條件。混合Bezier類基函數不但保留了多項式基函數、有理B-樣條基函數的優點,而且使計算更加簡單。由此生成的函數型數據曲線具有更大的靈活性,得到更優的結果。

2、函數型數據曲線的光順處理。懲罰函數法是傳統的函數型數據曲線的光順方法。除此之外,本文給出了能量光順法的理論和方法。并在應用B-樣條基函數的前提下,深入研究了局部能量最優光順法、基于曲率均化的B-樣條曲線能量光順法、非均勻樣條曲線光順法以及分層能量光順法。

基于均勻節點的B-樣條曲線所提出的局部最優光順法對于局部修改具有重要的實踐意義,而且結果表明,該方法計算快速有效。

基于曲率均化的B-樣條曲線能量光順法,除了考慮數據曲線的應變能滿足最小化的要求之外,加入對數據曲線的曲率要求。即對數據曲線施行曲率重新均化,這種均化的方法可以是基于累加弦長的,也可以是基于累加弧長的。

考慮到在實際數據觀測中,所獲得的數據未必是均勻的或者等距的。因此,由非均勻節點生成的樣條曲線看成是非均勻樣條曲線。非均勻樣條曲線光順法就是針對這種情況提出的能量光順法。

分層能量法的基本思想是：首先,在一定誤差范圍內對原始曲線進行小波分解,目的是對曲線進行數據壓縮和粗光順,然后計算邊界約束控制點,利用帶約束條件的能量法對光順后的曲線進行邊界約束處理和細光順。

3、對數據曲線分析方法的研究。在完善了函數型數據的方差分析、典型相關分析之后,主要對函數型數據的主成分分析方法做出了比較全面的研究和實證分析。本文另外一個創新點在于首次推導出基于歐式距離聚類分析的一些結論,指出在使用Fourier基函數和正交基函數展開后,函數型數據曲線的聚類分析可以轉化,即是對展開項的生成空間中的點做普通的聚類分析。這大大簡化了計算,提高了計算速度。并將Pearson相似系數引入聚類分析之中。特別提出了加權分段聚類分析的概念,不但把握數據曲線簇簡單局部形態特征而且提高了聚類質量。

4、本文從三個角度研究了函數型數據分析方法的應用,這也是對應用領域的一個拓展和突破。首先,分析了匯改前后人民幣匯率變動對國內物價的傳遞效應,將函數型數據分析方法應用到經濟領域,并進行了實證分析,得出結論。其次,在基于函數型數據分析方法的筆跡甄別研究中,通過提取數據特征曲線,建立具有良好擬合性質的動態模型,得到了關于筆跡識別一些有用的結論。最后將函數型數據分析方法應用到豬肉價格指數的季節變動中,分析了豬肉價格指數較大波動區間和平穩區間。研究發現,豬肉價格指數的季節變動呈現循環變化的特征。并依據分析結果給出政策建議。

本文的主要創新包括：

1、首次將NURBS, Berstein引入到函數想數據分析方法中；

2、首次構造了三角基函數、混合Bezier類函數并將其應用到函數型數據分析方法中；

3、首次將能量光順的思想引入到函數型數據分析方法中,并研究了幾種能量光順的具體實現方法；

4、指出函數型數據聚類分析方法在正交基下可以通過降維得到實現,并首次提出加權分段聚類的思想；

5、將函數型數據分析方法應用到經濟領域,并進行了實證分析,得出結論。是對應用領域的一個拓展和突破。

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總結

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