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目錄

一、點(diǎn)云配準(zhǔn)概念

二、點(diǎn)云配準(zhǔn)分類

1. 無輔助的自動拼接

2.?人工輔助標(biāo)志點(diǎn)

三、配準(zhǔn)常見流程

1. 粗配準(zhǔn)

2. 精配準(zhǔn)

（1）奇異值分解求解

（2）四元素求解旋轉(zhuǎn)矩陣

參考文獻(xiàn)

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一、點(diǎn)云配準(zhǔn)概念

? ? ? ?由于三維掃描測量設(shè)備受測量方式的限制和被測物體集合形狀的限制，一次只能掃描被測物體有限范圍的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，這需要在多個視角下進(jìn)行多次掃描，然而每個視角下得到點(diǎn)云數(shù)據(jù)都具有獨(dú)立的坐標(biāo)系，無法直接進(jìn)行拼接。于是需要通過對每個視角下獲取點(diǎn)云進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，統(tǒng)一到全局坐標(biāo)系下。具體流程是通過一個點(diǎn)集（目標(biāo)）中的每一個點(diǎn)與另一個點(diǎn)集（原始點(diǎn)集）中的對應(yīng)點(diǎn)的相互關(guān)系來實(shí)現(xiàn)點(diǎn)集與點(diǎn)集坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)配準(zhǔn)。?

具體實(shí)現(xiàn)步驟：

（1）首先從兩片點(diǎn)云數(shù)據(jù)中按照同樣的關(guān)鍵點(diǎn)選取標(biāo)準(zhǔn)，提取關(guān)鍵點(diǎn) ；

（2）對選擇的所有關(guān)鍵點(diǎn)分別計算其特征描述子；

（3）結(jié)合特征描述子在兩個數(shù)據(jù)集中的坐標(biāo)的位置，以兩者之間特征和位置的相似度為基礎(chǔ)，來估計它們的對應(yīng)關(guān)系，初步估計對應(yīng)點(diǎn)對；

（4）假定數(shù)據(jù)是有噪聲的，除去對配準(zhǔn)有影響的錯誤的點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)對；

（5）利用剩余的正確對應(yīng)關(guān)系來估算剛體變化，求解對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣，完成配準(zhǔn)構(gòu)成。

二、點(diǎn)云配準(zhǔn)分類

? ? ? ? 國內(nèi)外許多學(xué)者都對其進(jìn)行了深入的研究，也取得了豐碩的研究成果。應(yīng)用較為廣泛是迭代最近點(diǎn)、基于幾何特征匹配、基于圖像灰度的配準(zhǔn)等。這些配準(zhǔn)算法所用到的幾何原理主要包括剛性變換、投影變換、放射變換和曲線變換。雖然每種配準(zhǔn)算法的原理不同，但配準(zhǔn)的流程都相差不大，主要分為：點(diǎn)云數(shù)據(jù)的提取、點(diǎn)云數(shù)據(jù)的匹配、除錯處理和變換求解。

1. 無輔助的自動拼接

針對特征明顯的被測物體，使用其他手段進(jìn)行配準(zhǔn)、
（1）迭代最近點(diǎn)（ICP）：從一片點(diǎn)云中搜索到另外一片點(diǎn)云中最近點(diǎn)來確定對應(yīng)點(diǎn)集，容易陷入局部最優(yōu)解，且要求配準(zhǔn)兩片點(diǎn)云初始位置與真實(shí)位置相差不大，其實(shí)質(zhì)是基于最小二乘法的最優(yōu)匹配方法。主要分為點(diǎn)對點(diǎn)，點(diǎn)對投影和點(diǎn)對面的方法。

（2）特征點(diǎn)匹配：通過分析被測物體的局部幾何信息來尋找特征點(diǎn)并實(shí)現(xiàn)匹配，但算法特征點(diǎn)包含較少幾何信息，穩(wěn)定性有待提高。可以利用多尺空間尺度不變特征變化(SIFT)來尋找特征點(diǎn)，這要求被測物體有紋理信息，基于SIFT算法在空間尋找極值點(diǎn)，并提取其位置、尺度、旋轉(zhuǎn)不變量進(jìn)行特征點(diǎn)匹配。

（3）正態(tài)分布變換（NDT）：利用高斯概率分布的形式來描述離散點(diǎn)的信息，用標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)化技術(shù)確定最優(yōu)匹配，具有收斂速度快，效率高的特點(diǎn)，常常用來做精配準(zhǔn)，結(jié)合其他算法一起使用。

（4）依靠平臺實(shí)現(xiàn)配準(zhǔn)：通過掃描設(shè)備和旋轉(zhuǎn)平臺之間的相對位置，通過旋轉(zhuǎn)平臺運(yùn)動參數(shù)來計算各個點(diǎn)云視角下旋轉(zhuǎn)矩陣，實(shí)現(xiàn)將任意角度的點(diǎn)云配準(zhǔn)到統(tǒng)一坐標(biāo)系下，該方法配準(zhǔn)精度高，但受旋轉(zhuǎn)平臺定位裝置精度的影響。

2.?人工輔助標(biāo)志點(diǎn)

針對被測物體沒有明顯的特征點(diǎn)，從不同的視角拍攝無法對同一點(diǎn)進(jìn)行有效的識別定位，需要人工添加標(biāo)志點(diǎn)在被測物體上，進(jìn)而完成測量。這種方式更加靈活、適用于任何形狀的物體。

（1）編碼標(biāo)志點(diǎn)：標(biāo)志點(diǎn)自身帶有唯一的編碼信息，每個標(biāo)志點(diǎn)都對應(yīng)不同的編碼信息，且對于不同的編碼標(biāo)志點(diǎn)有對應(yīng)不同的編解碼方案和特征識別算法，通過在兩幅不同視場下相同的標(biāo)志點(diǎn)實(shí)現(xiàn)自動拼接。

（2）非編碼標(biāo)志點(diǎn)：標(biāo)志點(diǎn)的大小形狀完全相同，可以通過對三點(diǎn)法、四點(diǎn)法、四元法、SVD最小二乘法實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云配準(zhǔn)。但由于噪聲的影響標(biāo)志點(diǎn)位置布置的隨機(jī)性，在標(biāo)志點(diǎn)匹配時非常同意出現(xiàn)誤匹配標(biāo)志點(diǎn)，影響點(diǎn)云配準(zhǔn)的穩(wěn)定性。

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三、配準(zhǔn)常見流程

? ? ? ?通過一個點(diǎn)集（目標(biāo)）中的每一個點(diǎn)與另一個點(diǎn)集（原始點(diǎn)集）中的對應(yīng)點(diǎn)的相互關(guān)系來實(shí)現(xiàn)點(diǎn)集與點(diǎn)集坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)配準(zhǔn)。?

兩幅點(diǎn)云數(shù)據(jù)中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可以描述如下：

其中其中(R)是對應(yīng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)矩陣,(T)是對應(yīng)點(diǎn)平移矩陣。

估算變換矩陣的步驟：

(1) 在對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上評估一些錯誤的度量標(biāo)準(zhǔn)（使用對應(yīng)點(diǎn)的歐式距離為度量標(biāo)準(zhǔn)）；

(2)利用最小化錯誤標(biāo)準(zhǔn)和矩陣運(yùn)算等來估計一個剛性變換；

(3)使用剛性變換將源點(diǎn)云旋轉(zhuǎn)/平移到與目標(biāo)所在的同一個坐標(biāo)系下，然后再用所有對應(yīng)點(diǎn)或者部分對應(yīng)點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)運(yùn)行一個內(nèi)部ICP循環(huán)；

(4)進(jìn)行迭代，直到符合收斂性判斷標(biāo)準(zhǔn)為止（一般設(shè)置對應(yīng)點(diǎn)的歐氏距離作為終止迭代的閾值）

? ? ? ?求解旋轉(zhuǎn)矩陣可以通過在兩個點(diǎn)云集中尋找對應(yīng)點(diǎn)對，根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)對來建立轉(zhuǎn)換方程組，通過求解方程組的值來計算出旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣 H。理論上最少需要找到三組不共線的對應(yīng)點(diǎn)對才能求解出旋轉(zhuǎn)平移矩陣，不過為使結(jié)果更加精確，對應(yīng)點(diǎn)對越多越好。但一般情況下，很難在兩幅點(diǎn)云數(shù)據(jù)中很準(zhǔn)確的找到對應(yīng)點(diǎn)對，因此加入目標(biāo)函數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)來估計旋轉(zhuǎn)、平移矩陣。目前，最常用的目標(biāo)函數(shù)是對應(yīng)點(diǎn)歐式距離平方和:

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? ? ? ? ?大部分點(diǎn)云配準(zhǔn)算法可以從不同角度對其進(jìn)行劃分：從局部與整體的角度進(jìn)行劃分時，可以分為局部配準(zhǔn)與全局配準(zhǔn)；從配準(zhǔn)精確度高低的角度進(jìn)行劃分時，可以分為粗配準(zhǔn)與精確配準(zhǔn)。雖然劃分的方式不同，但不同角度之間是相互對應(yīng)的，全局配準(zhǔn)與粗配準(zhǔn)對應(yīng)，局部配準(zhǔn)與精確配準(zhǔn)對應(yīng)。、

? ? ? ? 大多是點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)主要基于迭代最近點(diǎn)算法。由于迭代最近點(diǎn)算法對待配準(zhǔn)的兩片初始點(diǎn)云有較高的重疊度要求，因此在精確配準(zhǔn)之前要進(jìn)行粗配準(zhǔn)。通過粗配準(zhǔn)可以得到矩陣變換參數(shù)，進(jìn)而將待配準(zhǔn)點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一坐標(biāo)系內(nèi)，為精確配準(zhǔn)提供一個較好的初始位置。

1. 粗配準(zhǔn)

? ? ? ? 粗配準(zhǔn)是為了后續(xù)ICP精配準(zhǔn)做準(zhǔn)備，初步對兩片初始點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)，可到平移矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣的初始值，進(jìn)而將待配準(zhǔn)點(diǎn)云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一坐標(biāo)系內(nèi)，為精確配準(zhǔn)提供一個較好的初始位置。根據(jù)被測物體本身所具有的特點(diǎn)不同，較為常見的粗配準(zhǔn)方法有：標(biāo)簽法、基于平臺配準(zhǔn)和曲率特征法。?

（1）標(biāo)志點(diǎn)：通過人為的在被測物體表面貼標(biāo)簽，將這些標(biāo)簽作為被測物體的特征點(diǎn)，在對多次測量得到的點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行配準(zhǔn)時，通過對特征點(diǎn)的進(jìn)行識別與配準(zhǔn)，代替了對整體點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)，簡化了點(diǎn)云數(shù)據(jù)的配準(zhǔn)過程。

? ? ? ?標(biāo)志點(diǎn)缺點(diǎn)是對測物體進(jìn)行貼標(biāo)簽的操作比較繁瑣，過程比較耗時，并且對文物類的實(shí)體進(jìn)行測量時，有可能產(chǎn)生不同
程度的損壞。

（2）基于平臺配準(zhǔn)：將被測物體放在平臺之上，利用控制器對平臺進(jìn)行控制，使得平臺進(jìn)行固定角度的轉(zhuǎn)動，通過對同一位置的多次測量便可得到不同視角下的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對被測物體的點(diǎn)云配準(zhǔn)。

? ? ? ?基于平臺配準(zhǔn)主要適用于那些尺寸比較小且不適合貼標(biāo)簽的物體。

（3）曲率特征法：通常用于被測物體的表面幾何特征較為明顯的情況，因?yàn)榍适强臻g幾何里的一個不變特征量，所以通過曲率值的計算可以確定兩片點(diǎn)云的對應(yīng)點(diǎn)對，進(jìn)而利用得到的對應(yīng)點(diǎn)對求解變換矩陣的未知參數(shù)，完成點(diǎn)云的粗配準(zhǔn)。

2. 精配準(zhǔn)

? ? ? ? ICP由于具有計算簡便直觀，配準(zhǔn)精度高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于點(diǎn)云的精配準(zhǔn)中。但該算法的運(yùn)行速度以及向全局最優(yōu)化的收斂性卻在很大程度上依賴于給定的初始變換估計以及在迭代過程中對應(yīng)關(guān)系的確立。所以需要各種粗配準(zhǔn)技術(shù)為ICP算法提供較好的位置，在迭代過程中確立正確對應(yīng)點(diǎn)集能避免迭代陷入局部極值，決定了算法的收斂速度和最終的配準(zhǔn)精度。

? ? ? ?ICP處理流程：(1)對原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行采集；(2)確定初始對應(yīng)點(diǎn)集；(3)去除錯誤點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)對；(4)變換矩陣的求解。

? ? ? ?首先是從源點(diǎn)云中搜索到目標(biāo)點(diǎn)云中最近點(diǎn)來確定對應(yīng)點(diǎn)集q和p，然后通過最小二乘法迭代求解最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T，使得誤差E最小：

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? ? ? ? 其中n代表對應(yīng)點(diǎn)對的數(shù)目，ICP算法具有計算簡單且配準(zhǔn)精度高的優(yōu)點(diǎn)，但是該算法對于兩片點(diǎn)云的初始位置要求較為嚴(yán)格，否則容易陷入局部收斂且會影響配準(zhǔn)速度，因此需要通過粗配準(zhǔn)來為ICP提供較好的點(diǎn)云初始位置。

? ? ? ? 常用求取目標(biāo)函數(shù)最小的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的方法主要分為四元數(shù)法和奇異值分解法。

（1）奇異值分解求解

由最小二乘法可知目標(biāo)函數(shù)

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求兩組點(diǎn)云集的重心：

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由最小二乘法可知:，并定義,，于是目標(biāo)函數(shù)可以變?yōu)?#xff1a;

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因?yàn)榈谝豁?xiàng)與R無關(guān)，第二項(xiàng)由于與R無關(guān)（R為正交矩陣），那么目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為求的最大值。

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令

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假設(shè)存在最優(yōu)解,則存在下面關(guān)系：

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則然后對H矩陣進(jìn)行奇異值分解(SVD)?

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于是可以得到最優(yōu)解

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其中需要H滿秩，同時需要det()=1。然后通過可以求得平移矩陣T。

（2）四元素求解旋轉(zhuǎn)矩陣

? ? ? ? 前提背景：三維空間的任意旋轉(zhuǎn)，都可以用繞三維空間的某個軸旋轉(zhuǎn)過某個角度來表示，即所謂的Axis-Angle表示方法。于是我們可以用一個四維向量就可以表示出三維空間任意的旋轉(zhuǎn)。這里的三維向量只是用來表示Axis的方向朝向，因此更緊湊的表示方式是用一個單位向量來表示方向Axis，而用該三維向量的長度來表示角度值θ。于是就可以用一個三維向量就可以表示出三維空間任意的旋轉(zhuǎn)。

單位向量旋轉(zhuǎn)θ角度后的四元數(shù)：

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對于三維坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)，可以通過四元數(shù)乘法直接操作，與旋轉(zhuǎn)矩陣操作可以等價，但是表示方式更加緊湊，計算量也可以小一些。

根據(jù)上面的背景，我們可以定義一個單位四元數(shù)來表示旋轉(zhuǎn):

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其中均為實(shí)數(shù),
對于本身的幾何意義可以理解為一種旋轉(zhuǎn)，其中代表 x?軸與 y軸相交平面中 xx軸正向向 y 軸正向的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)代表 z 軸與 x?軸相交平面中 z軸正向向 x軸正向的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)代表 y 軸與 z 軸相交平面中 y 軸正向向 z 軸正向的旋轉(zhuǎn)，分別代表的反向旋轉(zhuǎn)。

四元數(shù)性質(zhì)：

單位四元數(shù)的共軛和逆相等：

四元數(shù)的乘法：，

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由上式可以得知四元數(shù)不具備有乘法交換律性質(zhì)。

? ? ? ? 根據(jù)上面介紹背景和四元數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)三維空間點(diǎn)云中某個數(shù)據(jù)點(diǎn)的四元數(shù)的形式：

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? ? ? ? 設(shè)過原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)軸的單位方向向量為,某點(diǎn)P繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度后得到了，此旋轉(zhuǎn)過程的四元數(shù)表示形式為：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

由于采用單位四元數(shù)的表達(dá)形式，所以，而且。

因此點(diǎn)與點(diǎn)滿足以下關(guān)系：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

聯(lián)立上面四元數(shù)的乘法兩條公式可以得到如下關(guān)系：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? 為了消除符號歧義，中符號均用。通過對比旋轉(zhuǎn)矩陣的形式，可以得出用四元數(shù)形式表示的旋轉(zhuǎn)矩陣：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???

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? ? ? ?利用四元數(shù)作為旋轉(zhuǎn)向量的表示優(yōu)勢：不需要考慮多個軸的旋轉(zhuǎn)順序且復(fù)雜計算，只用繞一個軸旋轉(zhuǎn)角度來表示整體的旋轉(zhuǎn)，計算較為簡單；且能避免由于建立在物體坐標(biāo)系上導(dǎo)致萬向節(jié)死鎖。唯一缺點(diǎn)是多引入一個變量，但這并不影響旋轉(zhuǎn)矩陣的確定。

根據(jù)上文推導(dǎo)，對于兩片點(diǎn)云之間的高精度配準(zhǔn)是通過最小二乘法迭代求解最優(yōu)旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T，使得誤差E最小：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

求兩組點(diǎn)云集的重心：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????

然后對兩片點(diǎn)云做去中心化處理后，求出兩片點(diǎn)云的協(xié)方差矩陣:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

并假設(shè)對稱矩陣：

由此可以得到列向量為：

利用該列向量構(gòu)建4X4對稱矩陣：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? 其中，表示矩陣的跡，即主對角線元素的綜合，也是特征值之和，表示的單位矩陣。所以將上面矩陣B進(jìn)一步計算可以得到如下方程：

? ? ? ?然后對矩陣B做特征值和特征向量求解，求出最大的特征值以及其對應(yīng)的特征向量，那個特征向量就對應(yīng)誤差的平方和最小時的四元數(shù)。（這個我也不是很清楚，為什么這個特征向量就對應(yīng)誤差平方和最小時的四元數(shù)？？？）?

? ? ? 求出四元數(shù)的四個變量值：。并且將其四個值帶入到上式的旋轉(zhuǎn)矩陣R中，求解最優(yōu)的旋轉(zhuǎn)矩陣。在選擇矩陣確定后，根據(jù)公式，就容易求解出平移矩陣。計算目標(biāo)函數(shù)如下式，如果結(jié)果小于閾值則停止迭代，否則繼續(xù)重復(fù)前面的步驟。

?

參考文獻(xiàn)

1.SVD求解ICP：https://blog.csdn.net/zhouyelihua/article/details/77807541

2.四元數(shù)性質(zhì)：https://blog.csdn.net/lql0716/article/details/72597719

3.四元數(shù)求解ICP：https://blog.csdn.net/hongbin_xu/article/details/80537100

總結(jié)

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