目錄

• 引言
• 線性空間的算子問題
• 變分的計算問題
• • 歐拉公式
• 構造泛函的方法
• • 利用分部積分構造
  • 利用標準變分原理構造
• 瑞利一里茨法
• 加權留數法
• 本征問題
• 變分的實際應用

引言

• 由于課程后面重點的矩量法和有限元法都是基于變分法進行的，變分法是它們的數學基礎，實際上矩量法就是電場積分方程變分法的實現，而有限元法則是電場微分方程的變分法實現。
• 變分法主要包括兩大類，如下圖所示：

• 直接法（Direct methods）
  • 瑞利一里茨法（Rayleigh ritz）
• 間接法（indirect methods）
  • 加權留數法
    • 點匹配法（collocation）
    • 子域法（subdomain）
    • 伽遼金法（Galerkin）
    • 最小二乘法（least square）

線性空間的算子問題

• 內積

定義內積：
對于兩個點或者標量，其內積定義為：u和v的共軛相乘，然后在線性空間內進行積分

如果u和v是矢量的話，則上述內積公式寫為：

內積的運算法則：（第一個公式比較重要）

• 算子方程
  定義算子方程
  
  L是線性算子，Φ是未知函數，g是源函數
  算子L所聚集的空間可以定義成內積的形式：
  
  L^a是L的一個伴隨算子，
  若算子滿足一定的條件的時候，具有一些特性：
  （1）如果滿足
  
  也就是說
  
  的時候，算子L是自伴的。
  （2）如果對于算子L的域內任意的Φ不等于0的函數Φ有
  
  則稱算子L是正定的；
  （3）在（2）的基礎上，反之如果
  
  那么算子L是負定的
• example：證明以下拉普拉斯算子是自伴的：
  

變分的計算問題

• 泛函：泛函就是函數的函數，普通的實域空間的函數，函數自變量就是數，而泛函的自變量是函數。一個簡單的例子，就是內積<u,v>，它就是一個泛函。
• 設定一個泛函如下：

歐拉公式

歐拉公式其實是泛函有極值的必要條件；
給定一個泛函如下：

假定該泛函有極值，則該泛函的變分是等于零的，即：

設h(x)是在y(x)上的一個很小的增量，那么y(x)+h(x)要滿足邊界條件：y(a) = A；y(b) = B
因為該泛函的變量是函數y，而函數y的自變量為x，而積分處的邊界條件是從a到b積分，即a<x<b；
所以也可以知道，增量h(a) = h(b) = 0，因為此處函數都收束于一點，沒有增量。
因此可以定義泛函的一個小的增量為：

上述式子其實也可以定義為變分的離散化，變分就是泛函求微分，微分的離散化就是差分，而上述式子就是一種差分形式。
用泰勒級數對上述式子進行展開（分別在y+h和y+h^` 進行展開）得到如下式子：

所以當兩個差分點無限近，也就是h(x)無限小的時候，h和 h^` 可以近似看成變分加上一個高階無窮小量了。
因此，可以得到該泛函的近似變分為如下：

為了便于后面表示，用微分形式代替：

利用分部積分公式：

對變分公式中的第二項進行展開，即：

最后變分公式可以轉化為如下形式：

而之間我們已經討論過h(x)在邊界a、b處的值，所以后面這一項等于0，那么變分等于0可以表示成積分里這一項等于0：

其簡寫形式如下，這個就是叫做歐拉公式（或叫做歐拉-拉格朗日公式）：

它的意義是：當泛函有極值的時候，該泛函的變分等于0，也就是存在該歐拉公式的形式。
更一般的情況，若泛函的變量的自變量為兩個，即u = u(x,y)，則有：



繼續擴展，u = u(x,y)；v = v(x,y)


因此可以推斷出通式，對于一個泛函：

若該泛函存在極值，則歐拉公式為：

構造泛函的方法

利用分部積分構造

• 算子方程左乘一個變分δΦ，然后對整個域作積分；
• 使用散度定理或者分部積分的形式將被積式轉換成變分δΦ；
• 利用邊界條件；
• 將變分符號移動到積分號外就構造出一個泛函了；

舉例：對于泊松方程如下：

（1）將右邊的f移到方程左邊后，左乘一個變分，然后對整個域積分，得到新的方程：δI = 0，而δI就是下面式子的積分，所以可以知道，如果把積分里的δ（變分符號）提到積分外，則該積分就是一個泛函了，也就是實現了由算子方程構造出了要給泛函。（積分里面多了負號，實際上沒有什么影響，因為方程右邊是0，只是為了后面簡化過程比較直觀所以多乘了一個負號）

（2）然后再利用分部積分法，先把δΦ看成一個整體，Φ對x的偏微分看成一個整體，然后就有：

同理就有：

回顧一下分部積分公式：

對最初的積分式子左邊的項進行分部積分展開：

對Φ的x二階偏微分和y的二階偏微分都進行分部積分展開：


最后可以得到：

（3）為了把變分符號移到積分符號外，利用了變分的性質：

最后得到如下式子：

（4）后面兩項，利用邊界條件（對于齊次的邊界條件，要么是Φ=0，要么是Φ的導數等于0，即Dirichlet邊界條件或Neumann邊界），所以后面這兩項都等于0了；
再將1/2移到積分內，得到最終的變分公式：
（關于邊界條件的知識可以參考偏微分方程的三類邊界條件以及求解微分方程的邊界條件）

最后再將變分符號去掉，便得到了泛函函數I：

利用標準變分原理構造

瑞利一里茨法

瑞利一里茨實際上就是用了標準變分法原理來構造；
對于泛函I：

利用多項式級數來近似Φ函數，其中u_n定義為展開函數（或叫做基函數），

加權留數法

本征問題

變分的實際應用

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电磁仿真原理——3. 变分法(Variationl Methods)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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