目錄

• 本章目錄
• 引言
• • 一維的有限元分析
  • • 邊界元方程
  • 一維問題的分析
  • 瑞利瑞茲法

上一章學習，我們了解到對于矩量法來說，實際上就是對積分方程利用加權余數法來求解，而本章所學習的有限元法就是用加權余數法來求解差分方程。而加權余數法主要就是用伽遼金法來求解。

本章目錄

一維有限元分析

拉普拉斯方程、泊松方程和波動方程（亥姆霍茲方程）的求解（實際上就是二維有限元分析）

自動網格劃分

帶寬處理

高階元問題

三維有限元分析

矢量有限元分析

引言

• 使用有限元法分析的步驟可以總結為：
  （1）首先將求解區域離散劃分為有限個子區域或者元；
  （2）得出經典元的控制方程（實際上就是算子方程近似解的基函數表示式）；
  （3）求解域內所有元的總和（上一步求解得到我們單個有限元的控制方程，那么對所有元進行綜合，得到總的矩陣也就是系統方程）；
  （4）求解得到的系統方程，得到最終的解
  經典的有限元劃分：

對于一維問題：
帶有兩個節點的一個線段成為一個元

對于二維問題，有不同的有限元劃分方式：
最經典的是三個結點組成的三角形網格劃分，也有六個結點對應的網格劃分，這種適用于高階問題。
還有其他兩種不太常用的網格劃分形式

對于三維問題：
一般劃分為四個結點的四面體，也有八個結點的六面體

一維的有限元分析

• 邊值問題
  因為有限元方程是對微分方程的應用，也就是加權殘差法的計算，所以我們先給出一個典型的邊值問題，給出一個典型微分問題。因為對于我們電磁場中的算子：例如泊松方程，亥姆霍茲方程都是微分算子的。
• 泛函公式
  通過邊值問題可以得到我們微分問題的泛函形式
• 有限元分析
  得到我們的泛函形式后，就可以利用瑞麗瑞茲法或者伽遼金法進行分析

邊界元方程

• 給出如下的邊界元方程：α和β是常數，或者說是與位置有關的函數都可以，但是這個α和β肯定是和我們求解的問題的物理區域是相關的，對于不同的物理問題，這兩個值是不一樣的。g是已知的源，可以理解成電磁場問題中的激勵源。Φ是未知函數，可以理解成電位。
  
  上述這個典型的邊值問題方程，可以描述很多電磁問題。例如電磁場中的泊松方程、拉普拉斯方程、亥姆霍茲方程的一維場的方程都可以用這個邊界元方程來描述
• 給出這個邊界元方程的邊界條件：
  左邊界（x=0）是一個已知的電位q（也就是狄拉克邊界條件）。右邊界（x=L）是第三類邊界條件，電位的導數+電位 =q；給出兩種邊界表示方式主要是為了表示邊界存在多種可能性，哪種情況都是可能存在的。
  
• 對α和β做出要求：在這個問題的求解區域內，如果存在一些點不連續或者突變的話，例如在x_d這個位置存在不連續或者突變的話，那么要求這個邊界元方程的解必須滿足連續性條件，也就是滿足如下的情況：
  

一維問題的分析

• 對于如下圖所示的一維模型，用一維的有限元去離散化，這里的一維有限元e是一個由兩個結點組成的線段表示。那么也就相當于這個一維模型被很N個結點離散化了。那么這些結點在一維模型上就有全局編號，也就是從左到右從1到N編號。而這些結點也有局部編號，對于每一個有限元e，局部編號都是1，2。
• 如果劃分的元夠多，那么對于每一個有限元上的函數Φ的值，可以用一個線性函數來表示。
  
• 其中a^e和b^e在每個元e內是常數：那么如果結點處的值都是已知的話，代入兩個結點的值到上面的方程里，就可以得到a^e和b^e了。
  
• 定義插值函數N1和N2（或者說是基函數）
  
  插值函數對應的函數圖像如下：
  
  l^e是每個有限元的長度
• 所以我們的控制函數可以表示成：
  

瑞利瑞茲法

有了單個元的控制方程后，我們可以得到所有元對應的，對應的接下來我們對之前的邊值問題進行分析

• 為了便于理解，我們首先讓邊界條件變得簡單一些，對于之前
  

總結

以上是生活随笔為你收集整理的电磁场仿真原理——5. 有限元法（FEM）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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