合數階群雙線性映射

令$\Psi$是群的生成算法, 輸入安全參數$\lambda$輸出參數$(p_1,p_2,p_3,G,G_T,e)$, 其中, $p_1,p_2,p_3$表示3個不同的大素數, $G$和$G_T$表示兩個$N$階循環群 ($N=p_1{p}_2{p}_3$), $e:G\times G\to G_T$表示雙線性映射當且僅當滿足以下3個條件:
(1) 雙線性: $?u,v\in G$ 和 $a,b\in Z_N$, 等式$e(u^a,v^b)=e(u,v{)}^{ab}$成立.
(2) 非退化性: $?g\in G,st.e(g,g)$ 在$G_T$中階為$N$.
(3) 可計算性: 對于$?u,v\in G$, $?$計算e(u, v)的多項式時間算法.

衍生結論: 假設群$G_{p_1},G_{p_2},G_{p_3}$分別是群$G$中階為$p_1,p_2,p_3$的子群. 取參數$h_i\in G_{p_i},h_j\in G_{p_j},i=j$, 則必有$e(h_i,h_j)=1$.

證明:
基于一個基本觀察, $g^{p_1{p}_2}$是群$G_{p_3}$的生成元. 這樣考慮, 令$t=g^{p_1{p}_2}$, 在群$G$中, $g^{p_1{p}_2{p}_3}$是生成元, 所以$t^{p_3}$是$G_{p_3}$的生成元. 同理$g^{p_1{p}_3}$是群$G_{p_2}$的生成元, $g^{p_2{p}_3}$是群$G_{p_1}$的生成元.
所以可以用生成元表示, $h_i=g_i^{{\alpha }_i},h_j=g_j^{{\alpha }_j}$, 其中$g_k=g^{p_m{p}_n},k,m,n\in \{1,2,3\},m=n,m=k,n=k$.
則$e(h_i,h_j)=e(g_i^{{\alpha }_i},g_j^{{\alpha }_j})=e(g^{{\alpha }_i},g^{p_l{\alpha }_j}{)}^{p_1{p}_2{p}_3}=1,l\in \{1,2,3\}$

素數階群雙線性映射

令$\Psi$是群的生成算法, 輸入安全參數$\lambda$輸出參數$(p,G_1,G_2,G_T,e,g,\tilde{g})$, 其中, $p$表示大素數, $G1,G_2$和$G_T$表示3個$p$階循環群, $g,\tilde{g}$分別表示$G1,G_2$的生成元, $e:G_1\times G_2\to G_T$表示雙線性映射當且僅當滿足以下3個條件:
(1) 雙線性: $?u\in G_1,v\in G_2$ 和 $a,b\in Z_p$, 等式$e(u^a,v^b)=e(u,v{)}^{ab}$成立.
(2) 非退化性: $?g\in G_1,\tilde{g}\in G_2,st.e(g,\tilde{g})$ 在$G_T$中階為$p$.
(3) 可計算性: 對于$?u\in G_1,v\in G_2$, $?$計算e(u, v)的多項式時間算法.

補充:
若$G_1=G_2$, 稱該映射為非對稱雙線性映射,
$G_1=G_2$, 則是對稱雙線性映射.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的合数阶群与素数阶群的双线性映射的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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