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伽遼金方法（Galerkin method）是由俄羅斯數學家鮑里斯·格里戈里耶維奇·伽遼金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин 英文：Boris Galerkin）發明的一種數值分析方法。應用這種方法可以將求解微分方程問題（通過方程所對應泛函的變分原理）簡化成為線性方程組的求解問題。而一個高維（多變量）的線性方程組又可以通過線性代數方法簡化，從而達到求解微分方程的目的。

伽遼金法采用微分方程對應的弱形式，其原理為通過選取有限多項試函數（又稱基函數或形函數），將它們疊加，再要求結果在求解域內及邊界上的加權積分（權函數為試函數本身）滿足原方程，便可以得到一組易于求解的線性代數方程，且自然邊界條件能夠自動滿足。

必須強調指出的是，作為加權余量法的一種試函數選取形式，伽遼金法所得到的只是在原求解域內的一個近似解（僅僅是加權平均滿足原方程，并非在每個點上都滿足）。

因為伽遼金方法的妙處在于研究它們的抽象方法，所以我們首先給出它們的抽象推導。最后我們再給出應用的例子。

一個問題的弱形式

我們通過一個抽象問題來引入伽遼金方法，將問題表示成在一個希爾伯特空間上的弱形式，也就是，求解使得對于所有

成立。這里，是一個雙線性型表達式，是一個上的線性形表達式。

伽遼金離散化

選取一個n?維子空間，然后求解問題在子空間中的投影：求使得對于所有

我們稱這個方程為伽遼金方程。注意方程形式沒有改變，但是求解域改變了。

伽遼金正交性

這是使得伽遼金方法非常有效的關鍵性質。因為，我們可以取為原方程的一個試矢量。帶入并相減，便得到誤差的伽遼金正交性關系

這里是真實解和伽遼金方程的解之間的誤差。

矩陣形式

因為伽遼金方法的目標是將問題簡化為線性方程組，我們來構造它的矩陣形式，以便利用計算機進行數值求解。

令為空間中的一組基。則顯然依次選取這些基矢量作為伽遼金方程的試矢量是充分的，也即：求解使得

用上述基矢量表示出：，將其代入上面的方程得到

這樣我們就得到了上面這組型的線性方程組，式中

矩陣的對稱性

由于矩陣項的定義，伽遼金方程的系數矩陣是對稱矩陣的充要條件是雙線性型表達式是對稱的。

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總結

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