CF probabilities

2000 ~ 2100

probilities - codeforces

1. Problem - 235B - Codeforces

不會寫

隨機生成長度為 $n(n\le 10^5)$ 的 $01$ 串，定義串的分數(shù)是所有連續(xù)的 $1$ 的長度平方和，比如 $1100111$ 的分數(shù)是 $2^2+3^2$. 每個位置生成 $1$ 的概率是 $p_i$. 問最后字符串的分數(shù)的期望.

可以轉化成等價的組合問題. 對于每兩個 $1$，如果其中間沒有 $0$ 的話，對答案的貢獻是 $2$. 對于每個單獨的 $1$，對答案的貢獻是 $1$. 證明很簡單，就是對于一段長度為 $m$ 的連續(xù)的 $1$，其分數(shù)是 $2?C_m^2+m=m^2$. 然后就好算了，計算一下每個位置如果結尾是 $1$ 的話對答案的貢獻即可.

2. Problem - 204C - Codeforces

給兩個長度為 $n(n\le 2\times 10^5)$ 的字符串，從兩個字符串中分別取出長度相同的子串 $x,y$，定義 $f(x,y)$ 的值為 $[x_i==y_i]$ 的個數(shù). 每個 $(x,y)$ 都是等概率選取的. 求 $f(x,y)$ 的期望.

可以轉化為組合問題. 對每個字符進行統(tǒng)計，對于字符串 $1$ 的某個字符 $c$，看在字符串 $2$ 的哪些位置出現(xiàn)過. 設 $c$ 在字符串 $1$ 中出現(xiàn)的位置是 $id$，則包含 $c$ 的字符串個數(shù)就是 $id?(n?id+1)$. 于是就和第二個字符串對比，看看 $c$ 在字符串 $2$ 出現(xiàn)的位置相對于 $1$ 靠前還是靠后討論即可.

3. Problem - 1525E - Codeforces

不會寫

給 $n(n\le 20)$ 個城市，$m(m\le 10^4)$ 個點，給出每個點到每個城市的距離，每秒鐘隨機占領一個之前未占領城市，從占領城市那一刻起，距離城市距離為1的點被打上標記，第二秒距離城市為 2 的點被打上標記. 問所有城市都被占領的時候，被打上標記的點的期望.

設 $E(j)$ 為第 $j$ 個點被占領的期望。則答案就是 $\sum _{j=1}^{m}E(j)$. 那么顯然 $E(j)=P(j)$. $P(j)$ 計算比較復雜需要容斥，但是 $\overline{P(j)}$ 計算起來非常簡單，我們只需要計算每個城市在多少秒之后占領后該點不會被覆蓋，然后排個序。因為這些區(qū)間有規(guī)律，就是排完序之后，后面的區(qū)間一定覆蓋前面的區(qū)間，因此直接累乘即可.

4. Problem - 1265E - Codeforces

看了提示

給 $n$ 個鏡子，有一個人每天詢問一個鏡子，第 $i$ 個鏡子會有 $p_i$ 的概率說美麗，$1?p_i$ 的概率說不美麗。如果說美麗，下一天就問第 $i+1$ 個鏡子（如果 $i=n$ 的時候就停止詢問）. 如果說不美麗，下一天就重新從第 $1$ 個鏡子開始問. 問詢問天數(shù)的期望.

其實就是在第 $i$ 個點，有 $p_i$ 的概率到第 $i+1$ 個點，有第 $1?p_i$ 的概率回到第 1 個點. 其實就是求從 $1$ 號點到 $n$ 號點的路徑長度的期望.
那么
$$\begin{gathered} e_1=1+p_1?e_2+(1?p_1)?e_1 \\ {e}_2=1+p_2?e_3+(1?p_2)?e_1 \\ ... \\ {e}_n=1+p_n?e_{n+1}+(1?p_n)?e_1 \end{gathered}$$

可以接出來
$$e_1=\frac{1+p_1+p_1{p}_2+...+p_1{p}_2...p_{n?1}}{p_1{p}_2...p_n}$$

5. Problem - 1039B - Codeforces

交互題

給一個 $1～n(n\le 10^{18})$ 的數(shù)軸，有一個點在數(shù)軸上，每次可以詢問一個區(qū)間 $[l,r]$，會回答這個點是否在這個區(qū)間之內。然后這個點隨機移動不超過 $k(k\le 10)$ 步，會移動到 $\min (1,x?k)～\max (n,x+k)$ 之間. 現(xiàn)在問不超過 $4500$ 次，求那個點在哪個位置.

6. Problem - 1009E - Codeforces

數(shù)軸上從0出發(fā)到n，值為 $1～n?1$ 的點中均可以休息，也可以不休息。現(xiàn)在給定一個數(shù)組 a[ ]，a[i]表示走長度為i的距離的困難度（保證 $a[i+1]>a[i]$），設每種情況出現(xiàn)的可能性均相同，求所有可能性的期望困難度之和 $p?2^{n?1}$。

組合計數(shù)即可，就是枚舉每個位置取到 $a_1$ 有多少種情況，取到 $a_2$ 有多少種情況等。累加答案即可.

7. Problem - 912D - Codeforces

有 $n\times m(1\le n,m\le 10^5)$ 大小的池塘，每個格子最多放一個魚，總共放 $k(k\le 10^5)$ 條魚，現(xiàn)在給一張 $r\times r$ 的網，網隨機投放。問怎樣放魚，可以使網撈上來的魚的數(shù)量的期望最大。

這個期望就等于每個位置被覆蓋的期望之和，等于每個位置被覆蓋的概率之和. 然后就找最大的 $k$ 個位置就可以了. 其實非常簡單，我想復雜了，根本不用復雜貪心，只需要把最中間的位置放在優(yōu)先隊列里面，然后一圈一圈往外擴就行。這個復雜度是可以保證的。因為先彈出來的點都是比較靠近中心的，他四周的點很可能已經被訪問過了，所以能夠進隊的格點不會太多.

8. Problem - 870D - Codeforces

交互題

9. Problem - 859D - Codeforces

給 $2^n(2\le n\le 6)$ 個隊伍，給出它們比賽的兩兩之間勝利的概率，每次比賽都可以賭哪支隊伍獲勝，使得獲得的分數(shù)最多。有一個限制是選如果賭了一支隊伍后后面每場比賽都要賭這支隊伍。比賽總共進行 $n$ 輪，每輪第 $2i?1$ 支和第 $2i$ 支隊伍比賽，第 $m$ 場比賽 猜對了可以獲得 $2^{m?1}$ 分.

這個題和 Football 很像，可以設 $f(x,i)$ 為第 $x$ 支隊伍在第 $i$ 輪獲勝的概率. 那么每一輪比賽，此隊伍的對手都可以事先知道. 然后從后往前算一遍就行了. 后面獲勝概率大的隊伍必選.

10. Problem - 452C - Codeforces

有 $m$ 副一樣的撲克牌，每副撲克牌有 $n$ 張不同的牌 $(1\le n,m\le 10^3)$. 現(xiàn)在把他們混合后隨機抽出來 $n$ 張，然后問有放回的隨機抽兩張，撲克牌相同的概率是多少.

這 $n$ 張牌都是一樣的。比如計算撲克牌 $1$，枚舉抽取的 $n$ 張牌中有多少張撲克牌 $1$.

最后答案就是 $\sum _{i=1}^{\min (n,m)}\frac{C_m^i{C}_{mn?m}^{n?i}}{C_{mn}^n}(\frac{i}{n}{)}^2$

但是這個題有一個問題就是答案輸出的不是取模，而是小數(shù)。中間結果會出現(xiàn) $10^6!$ 這么大的數(shù)字，浮點數(shù)存不下. 不過仍有一個辦法，就是先取對數(shù)在求指數(shù)。至少在這個題，這么做的精度還是夠的.

11. Problem - 268E - Codeforces

給 $n$ 個歌曲，第 $i$ 個歌曲的長度為 $l_i$，小明喜歡的概率是 $p_i$. 現(xiàn)在小明聽歌，如果小明喜歡這首歌，就把它加入喜歡的列表中；否則，就從新把喜歡的歌聽一遍再聽下一首歌. 問怎樣排序使得聽歌時間的期望最大？求這個最大期望.

假設有 $l_1,p_1$ 和 $l_2,p_2$，按照 $(1?p_2)l_1{p}_1$ 降序排序即可. 然后第 $i$ 首個的貢獻就是 $l_i+(1?p_i)\sum _{j=1}^{i?1}{l}_j?p_j$.

2200 ~ 2300

probilities - codeforces

1. Problem - 1245E - Codeforces

給一個 $10\times 10$ 的網格，一個人從下往上沿 $S$ 型往上走，每次可以擲色子，即等概率的走 $1～6$ 步. 有一些網格點有梯子，可以直接上去不需要擲色子。但是注意一個回合只能走一個梯子，不可以連續(xù)走梯子。另外一個限制就是當剩余的格子小于所置的色子的點數(shù)時，就原地不動.

概率 $dp$ 裸題了，但是注意兩個限制。由于不可以連續(xù)爬兩個梯子，所以可以用 $f(i,2)$ 表示在 $i$ 號點是擲色子過來的還是爬梯子過來的。然后剩余格子不夠的時候原地不動，設剩余 $x$ 個，則
$$d{p}_i=\frac{1}{6}\sum _{j=1}^{x}d{p}_j+\frac{6?x}{6}d{p}_i+1$$
移項就解決循環(huán)依賴問題了.

2. Problem - 1172C1 - Codeforces

看了提示
給 $n$ 張照片，第 $i$ 張照片的權重是 $w_i$，每張照片的有屬性 $0/1$. $0$ 表示這個人不喜歡此照片，$1$ 表示這個人喜歡此照片。一個人有放回地隨機抽取照片，第 $i$ 張照片抽到地概率是 $\frac{w_i}{{\sum }_{j=1}^n{w}_j}$. 若抽到喜歡的照片，把此照片權重+1，否則-1. 求抽取 $m$ 次后每張照片的權重的期望. $1\le n,m,w_i\le 50$.

設 $dp(w,i,j,k,t)$ 為權重為 $w$，類型為 $t$，操作了 $i$ 次，不喜歡照片權重的總和為 $?j+S0$，喜歡照片權重總和為 $k+S1$. 然后很容易列出來狀態(tài)轉移方程，就寫完了.

3. Problem - 1156F - Codeforces

看了提示

有 $n(2\le 5000)$ 張牌，第 $i$ 張牌上寫 $a_i$，每次隨機抽取一張牌 $x$ 和上一張牌 $y$ 比較，如果 $x<y$，游戲失敗并結束；如果 $x=y$ 游戲勝利并結束；如果 $x>y$，游戲繼續(xù)；若沒有牌則游戲失敗. 問游戲勝利概率.

設 $f(i,j)$ 為抽 $i$ 張牌，最后一張牌抽的是 $j$ 的概率. 那么 $f(i,j)=\sum _{k=1}^{j?1}f(i?1,k)\times \frac{s{z}_j}{n?i+1}$.

4. Problem - 1151F - Codeforces

不會寫

給一個長度為 $n(n\le 100)$ 的 $0/1$ 串，進行 $k(k\le 10^9)$ 次操作，每次操作選擇兩個位置 $i,j(1\le i<j\le n)$，交換 $i,j$ 上的數(shù)，求 $k$ 次操作后，該 $0/1$ 串變成非降序列的概率，答案對 $10^9+7$ 取模。

設該序列有 $cur$ 個 $0$，設 $dp(i,j)$ 為第 $i$ 次操作的時候，前 $cur$ 有 $j$ 個 $0$ 的方案數(shù)，很容易寫出遞推方程

$$\begin{gathered} dp(i,j)+=dp(i?1,j?1)?(cur?(j?1){)}^2 \\ dp(i,j)+=dp(i?1,j)?(C_{cur}^2+C_{n?cur}^2+j?(cur?j)+(cur?j)?(n+j?2?cur)) \\ dp(i,j)+=dp(i?1,j+1)?(j+1)?(n+(j+1)?2?cur) \end{gathered}$$

有了線性遞推式子后，用一個快速冪轉移即可。注意下標是從 0 開始的，因為 $dp(i,0)$ 是有意義的.

5. Problem - 1139D - Codeforces

不會寫

給一個數(shù)列，每次隨機選一個 $1$ 到 $m$ 之間的數(shù)加在數(shù)列末尾，數(shù)列中所有數(shù)的 $\gcd =1$ 時停止，求期望長度。$m\le 10^5$

設 $dp(x)$ 為現(xiàn)在手里的序列的最大公約數(shù)是 $x$，后面可以接數(shù)字個數(shù)的期望，則
$$\begin{gathered} dp(x)=1+\sum _{i=1}^m\frac{\gcd (i,x)}{m} \\ =1+\sum _{d|x}\sum _{i=1}^{m/d}[\gcd (i,x/d)=1]. \end{gathered}$$
于是這個就枚舉一下 $x$ 的因數(shù)，然后將 x / d 分解質因數(shù)，容斥原理弄一下就出來了.

6. Problem - 1097D - Codeforces

不會寫

給定 $n,k$，一共會進行 $k$ 次操作，每次操作會把 $n$ 等概率的變成 $n$ 的某個約數(shù)。求操作 $k$ 次后 $n$ 的期望是多少，答案對 $10^9+7$ 取模。$1\le n\le 10^{15},1\le k\le 10^4$

如果該數(shù)字是 $p^{\alpha }$ 這種形式，那么就可以令 $dp(i,j)$ 為操作了 $i$ 次后，次數(shù)為 $j$ 的期望. 可以證明 $E(n)$ 是一個積性函數(shù)，就可以先把 $n$ 分解質因數(shù)，然后把各自的答案乘起來就好了.

7. Problem - 1096F - Codeforces

看了提示
給你一個長為 $n$ 的排列，若某一位為 $?1$, 則這一位是不確定的。每種可能的排列出現(xiàn)的概率相等。求期望逆序對數(shù)對 $998244353$ 取模的結果。

首先考慮如果全是 $?1$ 的話怎么求。考慮每個 $(i,j)$ 的貢獻，是 $\frac{1}{2}$. 那么總的期望就是所有的 pair 的期望之和。所以就是 $\frac{n(n?1)}{4}$.

那么可以把這個分為三部分，已知數(shù)字與已知數(shù)字之間的逆序對，已知數(shù)字和未知數(shù)字之間的逆序對，未知數(shù)字和未知數(shù)字之間的逆序對。情況一和情況三都好求。

至于情況二，計算每個已知數(shù)字后面填比它小的數(shù)字概率，前面填比它大的數(shù)字概率，把這些情況加起來就行了.

8. Problem - 1045D - Codeforces

9. Problem - 1042E - Codeforces

看了提示
一個 $n$ 行 $m$ 列的矩陣,每個位置有權值 $a_{i,j}$. 給定一個出發(fā)點, 每次可以等概率的移動到一個權值小于當前點權值的點, 同時得分加上兩個點之間歐幾里得距離的平方 ( 歐幾里得距離: $\sqrt{(x_1?x_2{)}^2+(y_1?y_2{)}^2}$ ), 問得分的期望.

可以 $x$ 軸和 $y$ 軸分開看. 把所有的數(shù)字放在一個數(shù)組里面，然后排序，$\sum _{j=1}^{id}(x_j?x_i{)}^2=\sum _{j=1}^{id}{x}_j^2+2x_i\sum _{j=1}^{id}{x}_j+id?(x_i{)}^2$. 然后把這三個部分分別計算就可以了，打一個一次方前綴和和二次方前綴和就可以了.

10. Problem - 908D - Codeforces

看了提示

給三個數(shù)字 $k,pa,pb(1\le k\le 1000,1\le p_a,p_b\le 10^6)$，生成一個序列，一開始為空，每次有 $\frac{p_a}{p_a+p_b}$ 的概率往后面填一個 a，$\frac{p_b}{p_a+p_b}$ 的概率往后面填一個 b. 當出現(xiàn)了至少 $k$ 個形如 $ab$ 的子序列（不用連續(xù)）時停止。求最后 $ab$ 序列數(shù)量的期望數(shù)。

很容易想到一個設計狀態(tài)，就是 $dp(i,j)$ 表示前面有 $i$ 個 $a$，已經有了 $j$ 個 $ab$，那么有
$$dp(i,j)=\frac{p_a}{p_a+p_b}dp(i+1,j)+\frac{p_b}{p_a+p_b}dp(i,j+i)$$

當然需要解決兩個問題，一個就是 $i$ 一直增大， 這個東西會收斂，其實就是當 $i+j\ge k$ 的時候，再加一個 $b$ 就會解決掉，其實就是 $dp(i,j)=\frac{p_b}{p_a+p_b}\sum _{x=0}^{\infty }(i+j+x)(\frac{p_a}{p_a+p_b}{)}^x$. 這個用錯位相減就可以接出來通項公式，即 $dp(i+j)=i+j+\frac{p_a}{p_b}$.

第二個就是當前面沒有 $a$ 一直加 $b$ 情況。$dp(0,0)=\frac{p_a}{p_a+pb}dp(1,0)+\frac{p_b}{p_a+p_b}dp(0,0)$. 移項就可以解決循環(huán)依賴問題。

最后答案就是 $dp(0,0)$.

11. Problem - 895E - Codeforces

給一個長度為 $n(2\le n\le 10^5)$ 的序列，有 $q(q\le 10^5)$ 個操作：

給兩個不相交的區(qū)間 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$，分別從兩個區(qū)間中隨機選擇一個數(shù)字交換

問 $[l,r]$ 的區(qū)間和的期望是多少

操作兩個區(qū)間，相當于每個數(shù)字乘 $\frac{r?l}{r?l+1}$，然后加上另一個區(qū)間的均值乘 $\frac{1}{r?l+1}$. 用一個線段樹，實現(xiàn)區(qū)間加或乘同一個數(shù)就好.

12. Problem - 768F - Codeforces

有 $w$ 箱酒，$f$ 箱食物。現(xiàn)在要把這些箱子摞成相鄰的若干堆，要求每一堆都必須是同類型的箱子，且相鄰堆類型不同。堆的高度定義為所有的箱子數(shù)。問所有用酒箱子做成的堆高度都大于 $h$ 的概率。每種合法安排方式都是等概率發(fā)生. $w,f,h\le 10^5$

13. Problem - 768D - Codeforces

一個人要取 $n$ 種物品，一天只能等概率地取一件物品，但不能確定取到的是哪種物品，求每種物品都至少取一種的概率不小于 $(p/2000)$ 的天數(shù).

14. Problem - 711E - Codeforces

求一年有 $2^n$ 天，$k$ 個人出現(xiàn)兩人生日相同的可能性是多少。

15. Problem - 678E - Codeforces

你是一位騎士，與其他n-1個騎士同時愛上了LKJ，所以你們不得不通過決斗的方式來選出誰能最終得到LKJ。

幸運的是你知道任意騎士i擊敗騎士j的概率，你還被推選為組織委員。決斗一開始你需要任意選擇兩名騎士（包括自己）進行決斗，勝利方繼續(xù)和你另外選擇的一名騎士決斗，直到僅剩一人，最終的勝利者將得到LKJ。

你非常渴望取得勝利，想知道自己得到LKJ的最大概率是多少，注意你是1號。

第一行一個正整數(shù) $n$，表示一共有 $n$ 名騎士。

接下來是一個 $n?n$ 的實數(shù)矩陣，$A_{ij}$. 表示 $i$ 戰(zhàn)勝 $j$ 的概率。保證 $A_{ii}$ 為 0，且 $A_{ij}+A_{ji}=1$

16. Problem - 601C - Codeforces

$m$ 個人參加 $n$ 項比賽。每場比賽有一個分值，在 $[1,m]$ 之間，且同一場比賽每個人的得分兩兩不同。總分為每場比賽得分之和。有一個人，給出他每場比賽的得分 $c_i$. 求這個人總分排名（第幾小）的期望值。排名的定義為 $1+k$， $k$ 表示總分嚴格比他低的人數(shù). $n\le 100$，$m\le 10^3$

17. Problem - 596D - Codeforces

有 $n$ 課樹并排排列，每棵樹高hh。每次從剩余的樹中選最左邊的或最右邊的（概率相等為0.5），砍掉一棵樹，樹倒向左邊的概率為 $p$，倒向右邊的概率為 $1?p$。如果樹和相鄰樹的距離小于 $h$，樹倒時會把相鄰的樹撞倒，倒的方向和撞到它的樹一致。問，砍完所有樹，樹干覆蓋的草地長度的期望值。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CF probabilities 自制题单的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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