##密碼學常用數學基礎，需要了解

雙線性映射（雙線性配對）：Bilinear Pairing

定義：一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素，生成第三個向量空間上一個元素之函數，并且該函數對每個參數都是線性的。

理解：若B:V×W→X是一個雙線性映射，則V固定，W可變時，W到X的映射是線性的，W固定，V可變時，V到X的映射也是線性的，也就是說保持雙線性映射中的任意一個參數固定，另一個參數對X的映射都是線性的。?

抽象化的描述：在《An Efficient Signature Scheme from Bilinear Pairings and Its Applications》這篇文獻中，有關雙線性配對的描述如下：

? ? ? Let G1 be a cyclic additive group generated by P, whose order is a prime q, and G2 be a cyclic multiplicative group with the same order q. Let e : G1 ×G1 → G2 be a map with the following properties:
1. Bilinearity: e(aP, bQ) = e(P, Q)ab for all P, Q ∈ G1, a, b ∈ Zq
2. Non-degeneracy: There exists P, Q ∈ G1 such that e(P, Q)/=?1, in other words, the map does not send all pairs in G1 × G1 to the identity in G2;
3. Computability: There is an efficient algorithm to compute e(P, Q) for all P, Q ∈ G1.

? ? ? ?In our setting of prime order groups, the Non-degeneracy is equivalent to e(P, Q) /= 1 for all P, Q ∈ G1. So, when P is a generator of G1, e(P, P) is a generator of G2. Such a bilinear map is called a bilinear pairing (more precisely called an admissible bilinear pairing).
（如果P是G1的生成元，則 e(P, P)是G2的生成元,這一類的雙線性映射更準確的應稱為可接受的雙線性映射）

網上找到的一些中文的解釋：（文獻還是要讀英文原版比較好）

雙線性映射可以用五元組(p,G1,G2,GT,e)來描述，G1，G2，GT是三個素數階乘法循環群，階數皆為p，定義在這三個三個群上的一個映射關系e：G1*G2 —>GT，滿足以下性質：?

? ? ?1、雙線性性：

對于任意a，b∈Zp和R，S∈G1，有e(Ra, Sb) = e(R, S)ab；

? ? ? 2、非退化性：

存在R，S∈G1，使得e(R, S) ≠ 1G2（1G2代表G2群的單位元）；

? ? ? 3、可計算性：

存在有效的算法對任意的R，S∈G1，計算e(R, S)的值。

注：

1、現在的密碼學相關論文中，習慣將G1,G2設置為乘法循環群。但是，基于橢圓曲線的雙線性群構造中，G1,G2是加法群。在大約2005年以前的論文中，G1，G2是加法循環群

2、雙線性映射可以通過有限域上的超橢圓曲線上的Tate對或Weil對來構造。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的密码学：双线性映射的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。