目錄

1. 題目

2. 算法原理

3. 代碼

4. 結(jié)果

4.1 運(yùn)行結(jié)果

4.2 結(jié)果分析

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直接通過(guò)解題的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，代入感更強(qiáng)

1. 題目

用經(jīng)典四階龍格庫(kù)塔方法對(duì)初值問(wèn)題，步長(zhǎng)分別取求解，觀察穩(wěn)定區(qū)間的作用。

2. 算法原理

某些常微分方程有解析解，但大多數(shù)都沒(méi)有，因此需要進(jìn)行數(shù)值解計(jì)算。

龍格—庫(kù)塔法是利用f(x,y)在某些特殊點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合，來(lái)估算高階單步法的平均斜率。

經(jīng)典的龍格—庫(kù)塔法是四階的，也就是在中用四個(gè)點(diǎn)處的斜率來(lái)估計(jì)其平局斜率，構(gòu)成四階龍格—庫(kù)塔公式

其準(zhǔn)確解y(x)在一系列點(diǎn)xi處y（xi）的近似值yi的方法，yi稱為數(shù)值解。經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔法方程如下：

其中：

其中的各個(gè)參數(shù)具體如下：

其整合之后為：

其中h為步長(zhǎng)。

3. 代碼

clear; clc;for step = [0.1, 0.2]x_0 = 0;y_0 = 1;num = floor(1/step);n = 1;X_output = [0];Y_output = [1];disp("y'= -20 * y")while n <= numx_1 = x_0 + step;K_1 = step * fun(x_0,y_0);K_2 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_1/2);K_3 = step * fun(x_0 + step/2, y_0 + K_2/2);K_4 = step * fun(x_0 + step, y_0 + K_3);y_1 = y_0 + (K_1 + 2 * K_2 + 2 * K_3 + K_4) / 6 ;X_output = [X_output x_1];Y_output = [Y_output y_1];x_0 = x_1;y_0 = y_1;n = n + 1;endfigure()plot(X_output,Y_output)xlabel('x')ylabel('y')title(['Runge-Kutta4階,步長(zhǎng)為：', num2str(step)])X_outputY_outputclear X_output Y_output end[x,y] = ode45('fun', [0:1], 1); figure() plot(x,y) xlabel('x') ylabel('y') title('自帶函數(shù)求解結(jié)果')function dy = fun(x, y) dy = - 20*y; end

4. 結(jié)果

4.1 運(yùn)行結(jié)果

Step = 0.1 時(shí)X_output = 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000Y_output = 1.0000 0.3333 0.1111 0.0370 0.0123 0.0041 0.0014 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000Step = 0.2時(shí) X_output = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000Y_output = 1 5 25 125 625 3125

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4.2 結(jié)果分析

用經(jīng)典四階龍格庫(kù)塔方法求解,其求解結(jié)果與設(shè)置得步長(zhǎng)有很大的相關(guān)性，步長(zhǎng)設(shè)置合適時(shí)，其求解情況與真實(shí)值基本一致，趨于穩(wěn)定。但步長(zhǎng)加大時(shí)，其求解值與真實(shí)值相差太大。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab之四阶龙格—库塔法方法：解常微分初值问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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