固体微电子学与半导体物理学
前言
學生贊嘆于自然科學的神奇與瑰麗，震撼于科學前輩的艱苦與努力。
特設此專欄記錄自己近兩年的求學生活，分享自己在學習自然科學中激起的聯想和感悟。
（本系列同時會穿插集成電路、半導體器件和光電子器件內容）
一、晶體
1.1 晶體在微米量級長程有序
晶體是原子有序排列而成的，從微觀角度講，有序排列的尺度是：微米
晶體破碎后的碎片擁有規則的幾何外形是由于晶體有：自限性
晶體用腐蝕劑腐蝕會出現特定的腐蝕坑是由于：晶體內部排列有序
晶體特性：
1. 固定熔沸點（本質源于晶體內部是長程有序的）
2. 自限性（自發呈現規則的幾何外形）
3. 各向異性（長程有序導致各向異性）
1.2 布拉菲格子、空間點陣
定義：X光衍射證實，晶體外形的對稱性是其組成原子在空間做有規律的周期性排列的結果。把晶
體中按周期重復排列的一部分原子抽象成一個幾何點，表示忽略重復周期中包含具體結構單元內
容，而集中反映周期重復的方式，這個從晶體結構中抽象出來的幾何點的集合稱為晶體點陣。
晶體結構=空間點陣+基元（基元內容：原子、分子、原子團、分子團等）
案例：
?1.3 結晶學原包
結晶學原胞即“晶胞”，或者叫晶體學原胞/單胞。晶胞是在實際的晶體結構中劃分的，展現出實際
晶體的所有原子，不僅考慮晶體的周期性還有其對稱性，因此結晶學原胞依托于14種布拉菲格子。
1.4 物理學原胞
物理物理學原胞即是所謂的“原胞”，要求每個原胞只包含一個格點。
所有具有簡立方結構晶體，如CsCl晶體、鈣鈦礦(CaTiO3)的固體物理學原胞
所有具有面心立方結構的晶體，其物理學原胞都是由圖中基矢a1, a2, a3劃分成的平行六面體
?1.5?維格納-賽斯晶胞
維格納-賽茲原胞，應當是取某一格點為原點，取這一格點與其他格點連線的垂直平分面所圍成的空間稱為維格納-賽斯原胞。
例如：體心立方的維格納-賽茲原胞就取了最近臨和次近鄰的格點的垂直平分面所圍成的空間為體心立方的維格納-賽斯原胞。
至此，基本且重要的晶體知識介紹完畢。
接下來，我們將用數學的階梯攀登物理殿堂的高樓大廈。
二、能帶
2.1 薛定諤方程求解電子波函數
質量為m的電子被無限高的勢壘限制在長度為L的直線上
引入薛定諤方程：
電子的波函數是方程的解。波函數是一個概率函數，反應的是電子的分布和在某一點出現的概率
邊界條件：電子不可逾越無限高的勢壘，在邊界處的電子波函數為0
?求得解
2.2 自由電子模型
以一維點陣常數為a的線性固體為例。在計算自由電子模型時必須要考慮周期性勢場，電子波在周
期性晶格中會發生布拉格衍射。
X表示時空間，G表示倒空間。布里淵區邊界的波矢滿足布拉格衍射條件。當電子波矢為±Π/a時，
描述電子波函數不再是行波而是駐波（布拉格衍射的結果）
兩種形式的駐波，由左右兩個等量的行波構成
?兩個駐波，使電子聚集在不同的空間區域；考慮到離子實的排列，這兩個波將具有不同勢能。
2.3 能隙
對于純粹的行波，自由電子的波函數是一個恒定量。對于平面波的線性組合，近自由電子電荷密度將不再是恒量，而是具有周期性的函數
?ρ（）表示電荷幾率在空間位置的分布函數。由上述公式可以看到，左右的兩個行波的峰值出現在不同位置
?上圖是晶格周期性勢場勢能的分布函數。其中黃色部分曲線與1/r成比例，r是電子與離子實的距離，電子帶負電勢能小于0.
引入電子波函數。縱坐標表示電子的幾率密度ρ（）
------表示ρ（-）
——表示ρ（+）
上圖可以看出體系的勢能具體有如下關系：U（-）＞U（行波）＞U（+）
若我們把U（+）與U（-）的能量差值用Eg表示，則兩個帶隙寬度就是Eg——這就是帶隙。
行波在靠近布里淵區邊界時波的反射比較強烈，這時邊界波矢對應的能量將不再按照拋物線的形式
增長，而是以較為平緩的方式增長。在邊界處的一階微分的結果為0
2.4 布洛赫函數和克朗尼格--朋奈模型
布洛赫函數：
在周期性勢場中，電子的波函數具有如下的特性：
是以晶格的原胞為周期的周期函數：
?
?——函數u（）依賴于波矢k
——布洛赫函數可由行波組成，疊加后成為波包，從而表示離子實在勢場中自由傳播的電子
——電子具有準動量：p=?k（此為約化普朗克常量）
克朗尼格-朋克模型：
一維周期性阱勢場，縱坐標是勢能，橫坐標是波矢，E是本征能量。勢壘是指數衰減函數，行波無勢場
?根據能量守恒，在薛定諤方程中引入勢能項：
?列出方程組
?
約化后求解可得（約化方式：取b=0，U=∞，即表示一個無限高的勢壘）
值域（-1，1）
?在上述公式中：k表示波矢，K表示與能量相關的量。
根據等量關系可得到如上圖
考慮周期性，可以得到如上圖。
本章從固體電子學切入，從數學角度定性和定量揭示了能帶、能隙的形成原因。由于篇幅有限，有些概念解釋的不是很透徹，讀者可以參考相關課本文獻進行進一步學習，本文只是起到引導和發散學習的作用。如發現錯誤，感謝您的閱讀和指正。
在此作者發布一些自己的想法，供大家批判：
1. 可不可以把宇宙空間看作是一個周期性的三維晶格，行星、恒星是它的格點
2. 你能聯想到哪些關于量子世界的定律可以映射到人類社會和宏觀世界上的嗎
（由于學業繁重，本欄將不定期更新）
總結
以上是生活随笔為你收集整理的固体微电子学与半导体物理学的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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