固体物理 2022.10.4
作業回顧：
1.詳細步驟
2.物理列式計算
重點研究縱波，橫波看作另一個晶向上的縱波，這樣子可以簡化我們的計算（重點研究沿著單原子鏈的方向）????????
通過泰勒展開，我們可以得到
這個關系就像一個回復力的形式
?這是在a附近的一個微分量，所以前面的系數是一個常數
我們按照順序來寫，
然后就可以得到合力
?m是原子質量，對勢能的二次微分量就是加速度
有了力學方程，我們就可以進行求解了
對于偏微分方程的求解，一個很重要的問題是我們如何確定邊界條件？
《數學物理方法》介紹的是各種微分方程的求解方法
一個是求解的方式，另一個是如何進行邊界條件界定，在這道題里面我們要引入一個思想：我們在考慮單原子鏈上的原子的時候，我們認為是相同的，沒有特殊的Atom，在第七講中，我們講勢能計算的時候，我們其實也遇到過邊界的問題，邊界的Atom和中心的Atom沒有本質的區別，從納米材料的角度來說，表面的原子數量比較多，然后就有很多奇特的物理化學性能，還有其他很多的光學性質，電學性質，在Atom數量比較大的時候，邊界的占比就會減少，此時我們不是在納米尺度，更多Atom是包括在中間的，我們在這個里面，用到的是一個周期性的邊界條件，對于一維單原子鏈來書
我們可以有很多個Atom，不管怎么畫，總有兩個Atom在兩個端點處，我們如何處理邊界的兩個Atom，有n個Atom就會有n個這樣的力學方程
對于邊界上的Atom，照我們原來的處理思路來說，需要額外研究一個新的情況，為了讓情況簡化，我們用了周期性的邊界條件（實際上如果是一條單原子鏈的話，邊界的兩個肯定和中心的不一樣），我們這里用了波恩-馮卡曼邊界條件，當Atom數量比較多的時候，我們可以用周期性條件來近似（第一個近似是最近鄰近似）,第二個就是此處的周期性條件近似
如何理解周期性邊界條件？
我們把邊上的Atom，再往下畫，畫成一個圈，這個就是波恩-馮卡曼條件的精髓，把直線型畫成閉環的圈型，如果用一個數學公式來理解的話，,n+N號原子核n號原子保持相同的運動
用了這個近似條件之后，我們就可以忽略一維單原子鏈，所有的Atom如果轉了N個，就會回到原先的位置
我們如果直接求解的話，將會有N個方程
?二次微分方程具有一般性的求根公式，,這就是一個波動方程的形式
k表示波向前運動的能力，x代表一維，wt是隨著時間變化的一個情況
波不僅可以沿著X方向運動，有這個運動的快慢，同時隨著時間也會有一個原地的一個振動，有兩種引起波變化的值，一個是原地的振動，一個是向前的一個運動，都可以在我們這個公式中體現出來，整體上都叫做相位（phase），我們把通解代入到微分方程中
代入之前觀察一下性質?，這是一個比較關鍵的性質
我們不用計算每一個Atom的變化，我們立足于整體，整個單原子鏈如何運動？
通過通用的求根公式，我們就可以把他們整個鏈接起來，形成一個有規律的整體
?在這個鏈里面，存在著一些原子，他們的位移變化是相同的,比如上面有N個Atom，如果滿足上面的關系的話
除了相同之外，我們還可以得到相反，如果是奇數倍的話
?可以看出來不同的Atom的位移之間，有一種從小到大，再從大到小的一種位移關系，就形成了一種類似波動的形式（位移在不同atom上形成一種波動形式，我們所說的格波，就描述的是這么一個形式）
Lattice Wave 形容的是位移在不同原子之間的一個關系，形成了一種類似波動的關系，每一個Atom的大小，都跟它們之間的距離有關系，這樣的話就把所有的Atom鏈接起來了，這號原子的位移，要受到所有其他Atom對它的影響，只能符合這么i一個倍數關系
?這種波稱為Lattice Wave，不是獨立存在的，沒有那么自由，受到周圍原子的影響
位移呈現一種周期性變化，這種運動形式稱為格波
K可以認為是格波的波矢，顯示的是格波向前運動的能力，過了一會，可能就會翻轉過來，呈現出一種運動的狀態，這種翻轉的速度，可以認為是由K來決定的
則有點像，我們看體育比賽的時候的觀眾所呈現出的波浪的歡呼
這是關于通解的一些性質，有了這些性質，就可以更好的去定義格波
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?因為我們知道每個原子之間振幅的聯系，公式左邊是對時間進行微分，時間微分他會出來一個平方的形式，代入可以知道，左右兩邊都有一個然后就可以消去，得到我們課件中的這個公式(Sin項，利用歐拉公式，自然而然就消掉了)
這樣的話，我們就得到了和K之間的關系，這里面的關系就是w和k之間的關系
之間的關系，我們稱之為色散關系(dispersion)
我們在固體物理里面，會有很多色散關系，每一種色散關系，都是之間的關系，凡是有波的時候，都可能有色散關系（一維單原子鏈的振動，可以認為是機械波）
我們后面還會學到電磁波，在固體中電磁波的色散關系，以及核外電子的色散關系，能帶關系
它代表的含義是，不同頻率的波傳播的速度和能力是不一樣的
是波的頻率，是波矢，代表了波向前傳播的能力
一般情況下，振動比較慢的波，傳的比較遠，我們知道有短波電臺和長波電臺
一般短波電臺傳的不是特別好，需要在短的范圍內進行使用，長波電臺可能幾千公里之外，還可以聽到（長波傳的比較遠）短波和長波就是形容頻率的，長波頻率小，短波頻率大，穿的近就是k比較大，傳的遠就是k比較小，他們之間滿足一定的關系
色散關系會貫穿所有波，不管是聲波，電磁波，還是核外電子的概率波，都有色散關系
我們對色散關系進行簡單的化簡，用二倍角公式進行化簡
?這樣的話，便于我們開方?
在實際的應用中是不存在負的值的，數學中才可能看到負的頻率
?這樣的話，就是,就是我們倒格空間的lattice contant（倒格空間的基矢），周期對于K來講，是倒格空間的基矢大小，這是一個非常有意思的現象，到最后會發現，單原子鏈的振動，擺動是有周期的，K是有周期的，K是倒格空間的基矢大小
我們把圖畫出來
?這個是我們最后得到的w k的關系圖，絕對值之后，我們把下面這一只反過來，在這個里面，我們已經知道K是有周期性的，，這樣的話就可以定在一個周期里面，關于K=0對稱，這樣一個最簡單的一個周期
這里面需要注意的是，實際在應用中，也沒有這么絕對的定義
?對K的取值范圍，這是書上嚴格的定義，這是我們關于畫出色散關系的第一個周期
第一個周期，我們稱之為第一布里淵區（畫色散關系的第一個區間）
其實還可以畫第二個，再往外畫，就到第二布里淵區了
我們在這個里面，色散關系比較簡單，所以只畫第一布里淵區就可以了，半導體物理中能帶關系也就是w和k之間的關系，因為w可以化作能量的形式,能帶關系本質上還是w-k關系，對于電子的色散關系，只是把w換成了能量（第一布里淵區的圖，需要大家會畫）有些書里面也把這個k定義為q，
因為用k更容易和波動方程連接起來（q其實也是k），q一般多用于空間的點陣中，如果說k是通用的，q就是空間點陣中的常用符號
總結
以上是生活随笔為你收集整理的固体物理 2022.10.4的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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