算法的運行時間依賴于所用的計算機系統、編譯器、可用存儲空間大小，還依賴于所用的編程語言，系統提供的標準函數庫和動態鏈接庫等。

可以對算法的運行時間進行測量，以評估算法的時間和空間效率，但在不同的機型、編譯器版本、硬軟件配置的情況下，想通過測量結果來判斷算法執行效率的優劣是不可行的。

最好是通過比較算法的時間和空間復雜度來評價算法的優劣，因為時間和空間復雜度與具體運行環境和編譯器版本無關。

算法的復雜度度量與問題規模

算法的時間復雜度是指當問題的規模從1增加到n時，解決這個問題的算法在執行時所耗費的時間也由1增加到T(n)，則稱此為算法的時間復雜度為T(n)。

算法的空間復雜度是指當問題的規模從1增加到n時，解決這個問題的算法在執行時所占用的存儲空間也由1增加到S(n)，則稱此算法的空間復雜度為S(n)。

一般來說，時間復雜度度量和空間復雜度度量都是問題規模的函數，因此在算法分析時有兩件事要做：

• 明確問題規模；
• 具體分析算法的程序代碼，再出算法具體服從何種函數。

為了簡化分析，僅涉及算法中可執行語句，及所需的附加存儲空間，時間復雜度與空間復雜度的單位都為1。

時間復雜度度量

為估算算法的時間復雜度看需要統計算法中所有語句中的執行頻度，即所有語句的執行次數。

計算如下：
算法的時間復雜度
=算法中所有運算語句的總執行時間
=算法中每條運算語句所執行時間的總和
=每條語句的執行次數×該語句執行時間

由于在計算機中基本運算語句，如加、減、乘、除、轉移、存取等的運算時間受計算機硬件、編譯器的編譯方法、操作系統的調度算法等的影響，很難準確估計，所以在度量時可視每條基本運算語句的執行時間為單位時間。

可以設定算法中每條運算語句的執行時間=該語句執行次數。

[程序 1-19] 計算矩陣各行元素的和

void example(float x[][m],int m){ //計算并輸出m行m列矩陣x各行元素的和float sum[m];int i,j;for(i=0;i<m;i++){sum[i]=0.0;for(j=0;j<m;j++)sum[i]=sum[i]+x[i][j];}for(i=0;i<m;i++)cout<<"Line"<<i<<":"<<sum[i]<<endl; }

特別地，第一個for循環語句每次要執行兩條基本語句
i=0；i<m或i++；i<m；

提問：for(i=0;i<m;i++)語句為何執行了m+1次，而sum[i]=0.0;則執行了m次。

我的解答：從0開始到m有m+1個數，而當最后一次判斷i=m時不再將執行下一步循環，即i=m時只執行了for語句里的判斷，sum不再執行，而sum比for語句執行次數少一次。

[例 1-19] 對于程序1-20所示的遞歸算法，計算時間復雜度

[程序 1-20] 計算數組a前n個元素的值遞歸算法

float rsum(float a[],int n){if(n<=0)return 0;else return rsum(a,n-1)+a[n-1]; }

在此遞歸算法中，語句if(n<=0)return 0是遞歸結束條件，要求執行n<0比較和執行return 0各一次，程序執行次數為2.
當n>0時進入遞歸rsum(a,n-1),計算n<=0比較一次，遞歸調用rsum(a,n-1)一次，加a[n-1]一次。

得到一個計算遞歸算法rsum(a,n)的程序執行次數的遞歸計算式Trsum(n):

這是一個遞推公式，通過重復代入Trsum來實現遞歸計算Trsum:

以上時間復雜度為一個重要例子，遞歸算法的時間復雜度計算

空間復雜度度量

算法的空間復雜度度量指算法所需附加存儲空間有多少：

固定部分：這部分空間主要包括算法所需工作單元所占用的空間，這部分屬于靜態空間，只要做簡單的統計就可估算；

可變部分：這部分空間主要包括其與問題規模有關的數組所占空間，遞歸工作棧所用空間，以及在算法運行過程中用過malloc(或new)和free(或delete)使用的空間。

如果空間大小僅與問題規模n有關，可以通過分析算法，找出所需空間大小與n的一個函數關系，就能得到所需空間大小。

[例 1-20] 程序1-21和程序1-22是計算n！的非遞歸算法和計算n！的遞歸算法，分別估算它們的空間復雜度。

[程序 1-21] 計算函數n！的非遞歸算法

int Fact(int n){ //假定n！不會超過所能表示的最大整數int product=1; //初始值為0！=1for(int i=1;i<=0;i++)product=i*product; }

[程序 1-22] 計算n！的遞歸算法

int Fact(int n){if(n<=0)return 1;else return n*Fact(n-1); }

在非遞歸實現的程序中1-21，問題規模為n。程序中用到一個整數product存放連乘結果，附加空間數為1，空間復雜度也為1。

在遞歸實現的程序1-22中，問題規模也是n。為了實現遞歸過程，用到了一種遞歸工作棧，沒遞歸一層就要加一個工作記錄到遞歸工作棧中，工作記錄為形式參數n，函數的返回值以及返回地址，保留了3個存儲單元。由于算法的遞歸深度為n，鼓所需的棧空間是3n，空間復雜度為3n。

最不好估計的是動態存儲分配所涉及的存儲空間。若使用了k次new命令，動態分配了k次空間單位。如果沒有使用delete命令釋放已分配的空間，那么占用的存儲空間數等于分配的空間數；如果使用了k次delete命令，就必須具體分析，

若用n代表new，用d代表delete，一個算法在運行過程中執行new和delete的順序為n,n,d,n,n,d,d,d,n,n,n,n,n,n分析這個序列就可以計算出空間復雜度為6。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的2.算法的时间和空间复杂性度量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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