目錄

• 1. 前言
• 2. 正文
• • 2.1 算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)
  • • 2.1.1 什么是算法？
    • 2.1.2 衡量算法好壞最重要的標(biāo)準(zhǔn)有哪兩個(gè)？
    • 2.1.3 什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？
    • 2.1.4 算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系呢？
    • 2.1.5 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有哪些組成方式？
  • 2.2 時(shí)間復(fù)雜度
  • • 2.2.1 如何評(píng)估算法時(shí)間上的優(yōu)劣？
    • 2.2.2 什么是基本操作或者說常數(shù)操作？
    • 2.2.3 如何計(jì)算程序的基本操作次數(shù)？
    • 2.2.4 什么是時(shí)間復(fù)雜度？
    • 2.2.5 推導(dǎo)出時(shí)間復(fù)雜度的原則有哪些？
  • 2.3 空間復(fù)雜度
  • • 2.3.1 什么是空間復(fù)雜度？
    • 2.3.2 如何計(jì)算空間復(fù)雜度？
    • 2.3.5 如何在時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度之間取舍？
• 3. 最后
• 參考

1. 前言

說實(shí)話，對(duì)于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法，是存在畏懼心理的。但是，一點(diǎn)一點(diǎn)地學(xué)，總會(huì)能克服掉這種心理吧。

2. 正文

2.1 算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2.1.1 什么是算法？

算法，對(duì)應(yīng)的英文單詞是 algorithm，最早來自數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，算法是用于解決某一類問題的公式和思想。如等差數(shù)列的公式：

在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，算法的本質(zhì)是一系列程序指令，用于解決特定的運(yùn)算和邏輯問題。如給出一系列整數(shù)，找出最大的整數(shù)，或者給出一系列整數(shù)，按從小到大排序。

2.1.2 衡量算法好壞最重要的標(biāo)準(zhǔn)有哪兩個(gè)？

時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

考量一個(gè)算法好壞主要從算法所占用的時(shí)間和空間兩個(gè)維度去考量。

• 時(shí)間維度：是指執(zhí)行當(dāng)前算法所消耗的時(shí)間，通常用時(shí)間復(fù)雜度來描述；
• 空間維度：是指執(zhí)行當(dāng)前算法需要占用多少內(nèi)存空間，通常用空間復(fù)雜度來描述。

2.1.3 什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)的英文單詞是 data structure，是數(shù)據(jù)的組織、管理和存儲(chǔ)格式，使用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的目的是為了更加高效地訪問和修改數(shù)據(jù)。

2.1.4 算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系呢？

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是算法的基石。如果把算法比作美麗靈動(dòng)的舞者，那么數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就是舞者腳下廣闊而堅(jiān)實(shí)的舞臺(tái)。
數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法是互不分開的。離開了算法，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就顯得毫無意義；而沒有了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，算法就沒有實(shí)現(xiàn)的條件了。在解決問題時(shí)，不同的算法會(huì)選用不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

2.1.5 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有哪些組成方式？

• 線性結(jié)構(gòu)：最簡(jiǎn)單的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括數(shù)組、鏈表，以及由它們衍生出來的棧、隊(duì)列、哈希表；
• 樹：相對(duì)復(fù)雜的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括二叉樹，以及由它衍生出來的二叉堆等；
• 圖：更為復(fù)雜的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；
• 其他數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：由基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變形而來，用于解決某些特定問題，如跳表、哈希鏈表、位圖等。

2.2 時(shí)間復(fù)雜度

2.2.1 如何評(píng)估算法時(shí)間上的優(yōu)劣？

通過統(tǒng)計(jì)代碼的絕對(duì)執(zhí)行時(shí)間：代碼的絕對(duì)執(zhí)行時(shí)間只有在實(shí)際運(yùn)行后才能得到，但是絕對(duì)執(zhí)行時(shí)間會(huì)受到運(yùn)行環(huán)境（機(jī)器性能的高低）和輸入規(guī)模（數(shù)據(jù)規(guī)模的大小）的影響，所以通過比較代碼的絕對(duì)執(zhí)行時(shí)間來確定算法的時(shí)間復(fù)雜度有很大的局限性。

通過預(yù)估代碼的基本操作次數(shù)：這需要對(duì)一個(gè)算法流程非常熟悉，然后寫出這個(gè)算法流程中，發(fā)生了多少次基本執(zhí)行操作，進(jìn)而總結(jié)出基本操作次數(shù)的表達(dá)式。基本操作次數(shù)的表達(dá)式會(huì)轉(zhuǎn)化為時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)來表示。

如果時(shí)間復(fù)雜度指標(biāo)無法區(qū)分算法好壞，就需要通過實(shí)際運(yùn)行代碼的方式來比較算法好壞了。

2.2.2 什么是基本操作或者說常數(shù)操作？

如果一個(gè)操作花費(fèi)的時(shí)間是固定的并且和樣本的數(shù)據(jù)量沒有關(guān)系，就把這樣的操作稱為基本操作，或常數(shù)操作。

常見的基本操作有：

• 從數(shù)組里面取出一個(gè)元素；
• 加減乘除運(yùn)算；
• 位運(yùn)算。

常見的非基本操作有：

• 從鏈表上面取出一個(gè)元素（跟鏈表長(zhǎng)度有關(guān)）；
• 在數(shù)組上查找最小值（跟數(shù)組長(zhǎng)度有關(guān)）。

2.2.3 如何計(jì)算程序的基本操作次數(shù)？

這里分場(chǎng)景來舉例說明。

場(chǎng)景1：

從鏈表中取出第 i 個(gè)元素，每次查找下一個(gè)節(jié)點(diǎn)耗時(shí)為 1 時(shí)間單位：

public static void case1() {LinkedList<Integer> list = new LinkedList<>();for (int i = 0; i < 2000; i++) {list.add(i);}// 取出第 1 個(gè)元素Integer a = list.get(0);// 取出第 999 個(gè)元素Integer c = list.get(999); }

則基本操作次數(shù)表達(dá)式 T(n) = n，因?yàn)榈?n 個(gè)元素需要從鏈表頭查找 n 次才可以獲取到。

場(chǎng)景2：
給定一個(gè)整數(shù) n，求初始值為 1 的整數(shù)乘以多少次 2 才可以達(dá)到 n：

public static void case2() {int i = 1;int n = 16;while (i < n) {try {Thread.sleep(1000);} catch (InterruptedException e) {e.printStackTrace();}i = i * 2;}System.out.println("i = " + i); }

這里我們把循環(huán)內(nèi)的休眠時(shí)間和 i = i * 2 作為一個(gè)大的常數(shù)操作，而忽略掉 i < n 這個(gè)常數(shù)操作時(shí)間。
可以知道，
如果 n = 2，則 T = 1；
如果 n = 4，則 T = 2；
如果 n = 16，則 T = 4；
總結(jié)一下，T(n) = log2^n；

場(chǎng)景3：
從數(shù)組中取出第 i 個(gè)元素，每次挪動(dòng)指針耗時(shí)為 1 時(shí)間單位：

public static void case3() {int[] arr = new int[2000];for (int i = 0; i < 2000; i++) {arr[i] = i;}// 實(shí)際上第一次挪動(dòng)比較耗時(shí)int a = arr[0];// 以后的獲取耗時(shí)相當(dāng)int b = arr[1];int c = arr[1999];}

T(n) = 1 時(shí)間單位。

場(chǎng)景4：
打印 n 行 n 列的星號(hào)：

public static void case4() {int n = 6;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {System.out.print("*");}System.out.println();} }

打印第 1 行，需要 1 次 int i = 1; 賦值操作；1 次 i <= n 比較；n 次 j <= n 比較；n 次 j++ 操作；n 次 System.out.print("*");，1 次System.out.println(); 換行操作 ，總共需要 3n + 3 次常數(shù)操作；
打印第 2 行，需要 1 次 i++ 操作；1 次 i <= n 比較； n 次 j <= n 比較；n 次 j++ 操作；n 次 System.out.print("*");，1 次System.out.println(); 換行操作 ，總共需要 3n + 3 次常數(shù)操作；
…
打印第 n 行，需要 1 次 i++ 操作；1 次 i <= n 比較； n 次 j <= n 比較；n 次 j++ 操作；n 次 System.out.print("*");，1 次System.out.println(); 換行操作 ，總共需要 3n + 3 次常數(shù)操作。
最后還需要 1 次 i <= n 比較；結(jié)束循環(huán)。

所以，總共需要的常數(shù)操作次數(shù) T(n) = (3n + 3) * n + 1 = 3n^2 + 3n + 1。

2.2.4 什么是時(shí)間復(fù)雜度？

若存在函數(shù) f(n)，使得當(dāng) n 趨于無窮大時(shí)，T(n) / f(n) 的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱 f(n) 是 T(n) 的同數(shù)量級(jí)函數(shù)。記作 T(n) = O(f(n))，稱為O(f(n))，O為算法的漸進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度，簡(jiǎn)稱為時(shí)間復(fù)雜度。

因?yàn)闈u進(jìn)時(shí)間復(fù)雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。大O用來表示上界，表示了算法的最壞情況運(yùn)行時(shí)間。

2.2.5 推導(dǎo)出時(shí)間復(fù)雜度的原則有哪些？

• 如果運(yùn)行時(shí)間是常數(shù)量級(jí)，則用常數(shù) 1 表示；
• 只保留時(shí)間函數(shù)中的最高階項(xiàng)；
• 如果最高階項(xiàng)存在，則省去最高階項(xiàng)前面的系數(shù)。

場(chǎng)景1：T(n) = n。
不是常數(shù)量級(jí)，最高階項(xiàng)是 n，則轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：T(n)=O(n)；

場(chǎng)景2：T(n) = log2^n。
不是常數(shù)量級(jí)，最高階項(xiàng)是 log2^n，省略常數(shù) 2，則轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：T(n)=O(logn)；

場(chǎng)景3：T(n) = 1。
是常數(shù)量級(jí)，則轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：T(n)=O(1)；

場(chǎng)景4：T(n) = 3n^2 + 3n + 1。
不是常數(shù)量級(jí)，最高階項(xiàng)是 3n^2，去除系數(shù) 3，則轉(zhuǎn)化的時(shí)間復(fù)雜度為：T(n)=O(n ^ 2)；

2.3 空間復(fù)雜度

2.3.1 什么是空間復(fù)雜度？

空間復(fù)雜度是對(duì)一個(gè)算法在運(yùn)行過程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的量度，同樣使用大O（讀作歐，不是零）表示法。

程序占用空間大小的計(jì)算公式記作 S(n) = O(f(n))，其中 n 為問題的規(guī)模，f(n) 為算法所占存儲(chǔ)空間的函數(shù)。

2.3.2 如何計(jì)算空間復(fù)雜度？

這里需要分情況來說明。

場(chǎng)景1：常量空間

當(dāng)算法分配的存儲(chǔ)空間大小是固定的，和輸入規(guī)模沒有直接的關(guān)系時(shí)，空間復(fù)雜度記作 O(1)。如：

public static void case1(int n) {// 給變量 i 分配的存儲(chǔ)空間大小是固定的，跟輸入規(guī)模 n 沒有直接的關(guān)系。int i = 0;for (; i < n; i++) {// 遍歷元素。} }

場(chǎng)景2：線性空間

當(dāng)算法分配的存儲(chǔ)空間是一個(gè)線性的集合（如數(shù)組或鏈表），并且集合大小和輸入規(guī)模 n 成正比時(shí)，空間復(fù)雜度記作 O(n)。如：

public static void case2(int n) {int[] arr = new int[n]; }

場(chǎng)景3：二維空間

當(dāng)算法分配的存儲(chǔ)空間是一個(gè)二維數(shù)組集合，并且二維數(shù)組的行和列都與輸入規(guī)模 n 成正比時(shí)，空間復(fù)雜度記作 O(n^2)。如：

public static void case3(int n) {int[][] arr = new int[n][n]; }

場(chǎng)景4：遞歸空間

計(jì)算機(jī)在執(zhí)行程序時(shí)，會(huì)專門分配一塊內(nèi)存，用來存儲(chǔ)方法調(diào)用棧（棧是一種先進(jìn)后出的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，或者說后進(jìn)先出的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)）。

方法調(diào)用棧包括進(jìn)棧和出棧兩種操作。

• 進(jìn)棧：當(dāng)進(jìn)入一個(gè)方法時(shí)，執(zhí)行進(jìn)棧操作，把調(diào)用的方法和參數(shù)信息（棧幀）壓入棧中。
• 出棧：當(dāng)一個(gè)方法返回時(shí)，執(zhí)行出棧操作，把調(diào)用的方法和參數(shù)信息（棧幀）從棧中彈出。

/*** 斐波那契數(shù)列指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...*/ public static int fibonacci(int n) {if (n <= 1) {return n;}return fibonacci(n - 2) + fibonacci(n - 1); }

當(dāng) n = 1 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 1 入棧：在方法內(nèi)部，滿足 n <= 1，所以直接返回，有 1 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 2 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 2 入棧：在方法內(nèi)部，fibonacci 方法和 n = 0 入棧，fibonacci 方法和 n = 1 入棧，總共會(huì)有 3 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 3 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 3 入棧：在方法內(nèi)部，fibonacci 方法和 n = 1 入棧，fibonacci 方法和 n = 2 入棧，總共會(huì)有 5 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 4 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 4 入棧：在方法內(nèi)部，fibonacci 方法和 n = 2 入棧，fibonacci 方法和 n = 3 入棧，總共會(huì)有 9 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 5 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 5 入棧：在方法內(nèi)部，fibonacci 方法和 n = 3 入棧，fibonacci 方法和 n = 4 入棧，總共會(huì)有 15 個(gè)棧幀。
當(dāng) n = 6 時(shí)，會(huì)有 fibonacci 方法和 n = 6 入棧：在方法內(nèi)部，fibonacci 方法和 n = 4 入棧，fibonacci 方法和 n = 5 入棧，總共會(huì)有 25 個(gè)棧幀。

S(n) ≈ (n - 1) ^ 2 = O(n^2)；

再舉一個(gè)遞歸的例子：求和

public static int sum(int n) {if (n <= 1) {return 1;}return n + sum(n - 1); }

當(dāng) n = 1 時(shí)，有 sum 方法和 n = 1 入棧，方法內(nèi)部：滿足 n <= 1，直接返回。總共有 1 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 2 時(shí)，有 sum 方法和 n = 2 入棧，方法內(nèi)部：有 sum 方法和 n = 1 入棧。總共有 2 個(gè)棧幀；
當(dāng) n = 3 時(shí)，有 sum 方法和 n = 3 入棧，方法內(nèi)部：有 sum 方法和 n = 2 入棧。總共有 3 個(gè)棧幀；

所以，S(n) = n = O(n)；

2.3.5 如何在時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度之間取舍？

在絕大多數(shù)時(shí)候，時(shí)間復(fù)雜度更重要一些，也就是說，哪怕要多分配一些內(nèi)存空間，也要提升程序的執(zhí)行速度。

比如，查找一個(gè)數(shù)組中的重復(fù)數(shù)字的例子。

采用犧牲時(shí)間換空間的實(shí)現(xiàn)如下：

/*** i = 0 時(shí)，外部循環(huán)：1 次 int i = 0; 操作，1 次 i < arr.length; 操作，內(nèi)部循環(huán)：1 次 int j = 0; 操作，1 次 j < i; 操作，共 4 次操作* i = 1 時(shí)，外部循環(huán)：1 次 i++ 操作，1 次 i < arr.length; 操作，內(nèi)部循環(huán)：1 次 int j = 0; 操作，2 次 j < i; 操作，1 次比較操作，1 次 j++ 操作，共 7 次操作* i = 2 時(shí)，外部循環(huán)：1 次 i++ 操作，1 次 i < arr.length; 操作，內(nèi)部循環(huán)：1 次 int j = 0; 操作，3 次 j < i; 操作，2 次比較操作，2 次 j++ 操作，共 10 次操作* i = n 時(shí)，外部循環(huán)：1 次 i++ 操作，1 次 i < arr.length; 操作，內(nèi)部循環(huán)：1 次 int j = 0; 操作，n + 1 次 j < i; 操作，n 次比較操作，n 次 j++ 操作，共 3n + 4 次操作* 總共：T(n) = (3n + 4)*n / 2 = 1.5n^2 + 2n = O(n^2)*/ public static void findTheSameTwoNumber1() {int[] arr = new int[]{3, 1, 2, 5, 4, 9, 7, 2};for (int i = 0; i < arr.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (arr[j] == arr[i]) {System.out.println("the same number is: " + arr[j]);break;}}} } /**

時(shí)間復(fù)雜度是 O(n^2)，空間復(fù)雜度是 O(1)。

采用犧牲空間換時(shí)間的實(shí)現(xiàn)如下：

/*** i = 0 時(shí)，1 次 int i = 0; 操作，1 次 i < arr.length; 操作，1 次 hashSet.add(arr[i]) 操作，共 3 次操作* i = 1 時(shí)，1 次 i++ 操作，1 次 i < arr.length; 操作，1 次 hashSet.add(arr[i]) 操作，共 3 次操作* i = n 時(shí)，1 次 i++ 操作，1 次 i < arr.length; 操作，1 次 hashSet.add(arr[i]) 操作，共 3 次操作* 所以 T(n) = 3n = O(n);*/ public static void findTheSameTwoNumber2() {int[] arr = new int[]{3, 1, 2, 5, 4, 9, 7, 2};// 借助中間數(shù)據(jù)，一個(gè)哈希集合，需要開辟一定的內(nèi)存空間來存儲(chǔ)有用的數(shù)據(jù)信息。HashSet<Integer> hashSet = new HashSet<>();for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (!hashSet.add(arr[i])) {System.out.println("the same number is: " + arr[i]);break;}} }

時(shí)間復(fù)雜度是 O(n)，空間復(fù)雜度是 O(1)。

3. 最后

本文主要學(xué)習(xí)時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的概念以及例子。

參考

• 關(guān)于時(shí)間復(fù)雜度，你不知道的都在這里！；
• 什么是大O表示法；
• 三種表示方法：O, Ω, Θ

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《漫画算法-小灰的算法之旅》第1章-算法概述读书笔记的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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