多項式算法5：多項式求逆

• 多項式求逆

前置知識：
FFT
NTT

多項式求逆

這里的多項式求逆，其實是求多項式的逆元。
對于多項式$A(x)$，如果存在$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$，那么我們稱$B(x)$為$A(x)$在模$x^n$意義下的逆元。
這里的模$x^n$是指舍棄所有$x$的次數大于等于$n$的項，當然也可以理解為所有$x$的次數大于等于$n$的項的系數賦為零。
例如，多項式$x^4+4x^3+6x^2+4x+1$對$x^3$取模后變為$6x^2+4x+1$。
當$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$，表示$A(x)$和$B(x)$在模$x^n$的意義下相乘得到的多項式，只有常數項為$1$，其它項的系數均為$0$。
小結論：如果滿足$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$，那么對于$1\le m<n$，$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^m)$也成立。
證明：不難發現由于$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$，表示$A(x)B(x)$的多項式的$x$的$1$到$n?1$次方項系數原本就均為$0$，$x$的$n$次方及更高次項已被強行賦了一個系數$0$。當模$x^m(1\le m<n)$時，$x$的$m$到$n?1$次方項系數本來就為零，強行賦零后也不影響結果的正確性。
這相當于$3\%5$和$3\%6$結果一樣。
下面就是推導時間了。
我們設$B(x)$為$A(x)$在模$x^n$意義下的逆元，$B^{\prime }(x)$為$A(x)$在模$x^{?\frac{n}{2}?}$意義下的逆元，那么有：
$$A(x{)}^{?1}\equiv B(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$$$A(x{)}^{?1}\equiv B^{\prime }(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{?\frac{n}{2}?})$$得$$B(x)\equiv B^{\prime }(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{?\frac{n}{2}?})$$$$B(x)?B^{\prime }(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{?\frac{n}{2}?})$$前$?\frac{n}{2}??1$次項系數均為零，乘方后小于$n?1$次的項一定有一邊的系數來自前$?\frac{n}{2}??1$次項，系數也為$0$ $$(B(x)?B^{\prime }(x){)}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$$$B(x{)}^2?2B(x)B^{\prime }(x)+B^{\prime }(x{)}^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$乘上$A(x)$，有：$$A(x)B(x)B(x)?2A(x)B(x)B^{\prime }(x)+A(x)B^{\prime }(x)B^{\prime }(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$因為$A(x)B(x)\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$，所以有：$$B(x)?2B^{\prime }(x)+A(x)B^{\prime }(x)B^{\prime }(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$$$B(x)\equiv 2B^{\prime }(x)?A(x)B^{\prime }(x)B^{\prime }(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$$$B(x)\equiv B^{\prime }(x)(2?A(x)B^{\prime }(x))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^n)$$
這說明，我們可以通過多項式乘法用$B^{\prime }(x)$求出$B(x)$，$n=1$時直接求常數項逆元，倍增$n$，從小往大即可，時間復雜度為$\Theta (n{\log }^{2}n)$。
我們的模板題還要求取模，模數$998244353$十分友好，故我們直接用NTT求解。
多項式求逆模板題

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cmath> #include <cstring> #define ll long long using namespace std; const int N = 1 << 22; const int g = 3 , gi = 332748118 , mod = 998244353; ll qw( ll a , ll b ) {ll ans = 1;while ( b ) {if( b & 1 ) {ans = ans * a % mod;}a = a * a % mod;b >>= 1;}return ans; } int rev[N]; int n; void pre( int bit ) {for ( int i = 0 ; i < ( 1 << bit ) ; ++i ) {rev[i] = (rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit - 1));} } void NTT( ll *F , int len , int on ) {for ( int i = 0 ; i < len ; ++i ) {if ( i < rev[i] ) {swap( F[i] , F[rev[i]] );}}for ( int i = 2 ; i <= len ; i <<= 1 ) {ll gn = qw( on ? g : gi , ( mod - 1 ) / ( i ) );for ( int j = 0 ; j <= len - 1 ; j += i ) {ll gg = 1;for ( int k = j ; k < j + i / 2 ; ++k ) {ll u = F[k];ll v = gg * F[k + i / 2] % mod;F[k] = (u + v) % mod;F[k + i / 2] = ( u - v + mod ) % mod;gg = gg * gn % mod;}}}return; } ll ta[N] , tb[N]; void solve( int len , ll *a , ll *b ) {if( len == 1 ) {b[0] = qw( a[0] , mod - 2 );return;}solve( ( len + 1 ) >> 1 , a , b );int l = 1;int bit = 0;while ( l <= len + n ) {l <<= 1;++bit;}pre( bit );for ( int i = 0 ; i < l ; ++i ) {ta[i] = a[i];tb[i] = ( i < ( ( len + 1 ) >> 1 ) ? b[i] : 0 );}NTT( ta , l , 1 );NTT( tb , l , 1 );for ( int i = 0 ; i < l ; ++i ) {ta[i] = tb[i] * ( ( ( 2 - ta[i] * tb[i] ) % mod + mod ) % mod ) % mod;}NTT( ta , l , 0 );ll inv = qw( l , mod - 2 );for ( int i = 0 ; i < len ; ++i ) {b[i] = ta[i] * inv % mod;} } ll a[N] , b[N]; int main(){scanf("%d",&n);for ( int i = 0 ; i < n ; ++i ) {scanf("%lld",&a[i]);}solve( n , a , b );for ( int i = 0 ; i < n ; ++i ) {printf("%lld ",b[i]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的多项式算法5：多项式求逆的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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