1. 定義

如果對(duì)于隨機(jī)變量$X$的分布函數(shù)$F(x)$，存在非負(fù)函數(shù)$f(x)$，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有$$F(x)={\int }_{?\infty }^{x}f(t)dt$$

則稱$X$為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)$f(x)$稱為$X$的概率密度函數(shù)。

概率密度$f(x)$具有以下性質(zhì)：

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{?\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
• $P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)?F(x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx(x_1\le x_2)$

2. 常見(jiàn)連續(xù)變量分布

####（1）均勻分布
若隨機(jī)變量$X$的密度函數(shù)為
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b?a}，a\le x\le b\\ 0，其他\end{array}$$
則稱隨機(jī)變量$X$服從區(qū)間$[a,b]$上的均勻分布，記作$X～U(a,b)$。

$X$的分布函數(shù)為
$$F(x)=?\begin{array}{l}0x\le a\\ \frac{x?a}{b?a}a\le x\le b\\ 1b\le x\end{array}$$

（2）指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{?\lambda x}x>0\\ 0x\le 0\end{array}$$

則稱隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$（$\lambda >0$ 為常數(shù)）的指數(shù)分布。

$X$的分布函數(shù)為

$$F(x)=\{\begin{array}{l}1?e^{?\lambda x}x>0\\ 0x\le 0\end{array}\lambda >0為常數(shù)$$

（3）正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(?\infty \le x\le +\infty )$$
其中，$?\infty \le \mu \le +\infty ,\theta >0$為參數(shù)。

則稱隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$(\mu ,{\sigma }^2)$的正態(tài)分布，記作$X～N(\mu ,{\sigma }^2)$。

若$\mu =0,\sigma =1$，稱$N(0,1)$為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，密度函數(shù)如下：
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{?\frac{x^2}{2}}(?\infty <x<+\infty )$$

正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)：

• 曲線關(guān)于直線$x=\mu$對(duì)稱。對(duì)于任意$h>0$，有$P\{\mu ?h<X\le \mu \}=P\{\mu <X\le \mu +h\}$。

• 當(dāng)$x=\mu$時(shí)，$f(x)$取到最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。$x$離$\mu$越遠(yuǎn)，$f(x)$的值就越小。對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離$\mu$越遠(yuǎn)時(shí)，隨機(jī)變量$X$落在該區(qū)間中的概率就越小。

• $f(x)$在$x=\mu \pm \sigma$處有拐點(diǎn)，并以$Ox$軸為漸近線。

• 若$\sigma$固定，改變$\mu$的值，則$f(x)$的圖形沿$x$軸平行移動(dòng)，但不改變其形狀。因此$f(x)$圖形的位置完全由參數(shù)μ確定。

• 若$\mu$固定，改變$\sigma$的值，由于$f(x)$的最大值為$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，當(dāng)$\sigma$越小時(shí)，$f(x)$圖形越陡，$X$落在$\mu$附近的概率越大；反之，當(dāng)$\sigma$越大時(shí)，$f(x)$圖形越平坦，$X$的取值越分散。
  

$3\sigma$原則：正態(tài)分布距離平均值$3\sigma$之外的值出現(xiàn)的概率$P\{|X?\mu |>3\sigma \}\le 0.003$，屬于極個(gè)別的小概率事件。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的L3-连续变量分布：均匀分布、指数分布、正态分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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