生成隨機(jī)數(shù)是程序設(shè)計(jì)里常見(jiàn)的需求。一般的編程語(yǔ)言都會(huì)自帶一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，用于生成服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。不過(guò)有時(shí)需要生成服從其它分布的隨機(jī)數(shù)，例如高斯分布或指數(shù)分布等。有些編程語(yǔ)言已經(jīng)有比較完善的實(shí)現(xiàn)，例如Python的NumPy。這篇文章介紹如何通過(guò)均勻分布隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)生成符合特定概率分布的隨機(jī)數(shù)，主要介紹Inverse Ttransform和Acceptance-Rejection兩種基礎(chǔ)算法以及一些相關(guān)的衍生方法。下文我們均假設(shè)已經(jīng)擁有一個(gè)可以生成0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，關(guān)于如何生成均勻分布等更底層的隨機(jī)數(shù)生成理論，請(qǐng)參考其它資料，本文不做討論。

基礎(chǔ)算法

Inverse Transform Method

最簡(jiǎn)單的生成算法是Inverse Transform Method(下文簡(jiǎn)稱ITM)。如果我們可以給出概率分布的累積分布函數(shù)(下文簡(jiǎn)稱CDF)及其逆函數(shù)的解析表達(dá)式，則可以非常簡(jiǎn)單便捷的生成指定分布隨機(jī)數(shù)。

ITM算法描述

生成一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)U～Uni(0,1)

設(shè)F(X)為指定分布的CDF，F?1(Y)是其逆函數(shù)。返回X=F?1(U)作為結(jié)果

ITM算法說(shuō)明

這是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔高效的算法，下面說(shuō)明其原理及正確性。

我們通過(guò)圖示可以更直觀的明白算法的原理。下圖是某概率分布的CDF：

我們從橫軸上標(biāo)注兩點(diǎn)xa和xb，其CDF值分別為F(xa)和F(xb)。

由于U服從0到1之間的均勻分布，因此對(duì)于一次U的取樣，U落入F(xa)和F(xb)之間的概率為:

而由于CDF都是單調(diào)非減函數(shù)，因此這個(gè)概率同時(shí)等于X落入xa和xb之間的概率，即：

而根據(jù)CDF的定義，這剛好說(shuō)明XX服從以F(x)為CDF的分布，因此我們的生成算法是正確的。

ITM實(shí)現(xiàn)示例

下面以指數(shù)分布為例說(shuō)明如何應(yīng)用ITM。

首先我們需要求解CDF的逆函數(shù)。我們知道指數(shù)分布的CDF為

通過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，可以得到其逆函數(shù)為

由于UU服從從0到1的均勻分布蘊(yùn)含著1?U服從同樣的分布，因此在實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)可以用Y代替1?Y，得到：

下面給出一個(gè)Python的實(shí)現(xiàn)示例程序。

importrandom

importmath

defexponential_rand(lam):

iflam?<=0:

return-1

U?=random.uniform(0.0,1.0)

return(-1.0/lam)*math.log(U)

Acceptance-Rejection Method

一般來(lái)說(shuō)ITM是一種很好的算法，簡(jiǎn)單且高效，如果可以使用的話，是第一選擇。但是ITM有自身的局限性，就是要求必須能給出CDF逆函數(shù)的解析表達(dá)式，有些時(shí)候要做到這點(diǎn)比較困難，這限制了ITM的適用范圍。

當(dāng)無(wú)法給出CDF逆函數(shù)的解析表達(dá)式時(shí)，Acceptance-Rejection Method(下文簡(jiǎn)稱ARM)是另外的選擇。ARM的適用范圍比ITM要大，只要給出概率密度函數(shù)(下文簡(jiǎn)稱PDF)的解析表達(dá)式即可，而大多數(shù)常用分布的PDF是可以查到的。

ARM算法描述

設(shè)PDF為f(x)f(x)。首先生成一個(gè)均勻分布隨機(jī)數(shù)X～Uni(xmin,xmax)

獨(dú)立的生成另一個(gè)均勻分布隨機(jī)數(shù)Y～Uni(ymin,ymax)

如果Y≤f(X)，則返回X，否則回到第1步

ARM算法說(shuō)明

通過(guò)一幅圖可以清楚的看到ARM的工作原理。

ARM本質(zhì)上是一種模擬方法，而非直接數(shù)學(xué)方法。它每次生成新的隨機(jī)數(shù)后，通過(guò)另一個(gè)隨機(jī)數(shù)來(lái)保證其被接受概率服從指定的PDF。

顯然ARM從效率上不如ITM，但是其適應(yīng)性更廣，在無(wú)法得到CDF的逆函數(shù)時(shí)，ARM是不錯(cuò)的選擇。

ARM實(shí)現(xiàn)示例

下面使用ARM實(shí)現(xiàn)一個(gè)能產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)。

首先我們要得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的PDF，其數(shù)學(xué)表示為：

為了方便，這里我會(huì)直接使用SciPy來(lái)計(jì)算其PDF。

程序如下。

importrandom

importscipy.stats?asss

defstandard_normal_rand():

whileTrue:

X?=random.uniform(-3.0,3.0)

Y?=random.uniform(0.0,0.5)

ifY?

returnX

注意：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的x取值范圍從理論上說(shuō)是(?∞,∞)，但是當(dāng)離開(kāi)均值點(diǎn)很遠(yuǎn)后，其概率密度可忽略不計(jì)。這里只取(?3.0,3.0)，實(shí)際使用時(shí)可以根據(jù)具體需要擴(kuò)大這個(gè)取值范圍。

衍生算法

組合算法

當(dāng)目標(biāo)分布可以用其它分布經(jīng)過(guò)四則運(yùn)算表示時(shí)，可以使用組合算法生成對(duì)應(yīng)隨機(jī)數(shù)。

最常見(jiàn)的就是某分布可以表示成多個(gè)獨(dú)立同分布(下文簡(jiǎn)稱IID)隨機(jī)變量之和。例如二項(xiàng)分布可以表示成多個(gè)0-1分布之和，Erlang分布可以由多個(gè)IID的指數(shù)分布得出。

以Erlang分布為例說(shuō)明如何生成這類隨機(jī)數(shù)。

設(shè)X1,X2,?,Xk為服從0到1均勻分布的IID隨機(jī)數(shù)，則

為服從指數(shù)分布的IID隨機(jī)數(shù)，因此

所以生成Erlang分布隨機(jī)數(shù)的算法如下：

這類分布的隨機(jī)數(shù)生成算法很直觀，就是先生成相關(guān)的n個(gè)IID隨機(jī)數(shù)，然后帶入簡(jiǎn)單求和公式或其它四則公式得出最終隨機(jī)數(shù)。其數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)是卷積理論，稍微有些復(fù)雜，這里不再討論，有興趣的同學(xué)可以查閱相關(guān)資料。

生成具有相關(guān)性的隨機(jī)數(shù)

現(xiàn)在考慮生成多維隨機(jī)數(shù)，以最簡(jiǎn)單的二維隨機(jī)數(shù)為例。

如果兩個(gè)維度的隨機(jī)數(shù)是相互獨(dú)立的，那么只要分別生成兩個(gè)列就可以了。但是如果要求兩列具有一定的相關(guān)系數(shù)，則需要做一些特殊處理。

下列算法可以生成兩列具有相關(guān)系數(shù)ρ的隨機(jī)數(shù)。

生成IID隨機(jī)變量X和Y

計(jì)算

返回(X,X′)

可以這樣驗(yàn)證其正確性：

注意：

因此X和X′確實(shí)具有相關(guān)系數(shù)ρ。

更多參考

這篇文章討論了生成指定分布隨機(jī)數(shù)的基本方法。這篇文章只打算討論基礎(chǔ)方法，所以還有很多有趣的內(nèi)容，本文沒(méi)有深入的探討。這里給出一些擴(kuò)展閱讀資料，供有興趣的朋友深入學(xué)習(xí)。首先是一篇非常好的文檔，這篇文章來(lái)自美國(guó)陸軍實(shí)驗(yàn)室，對(duì)計(jì)算機(jī)生成指定分布隨機(jī)數(shù)的方方面面進(jìn)行了全面深入描述，是不可多得的好資料。

在實(shí)現(xiàn)方面，可以參考NumPy中關(guān)于random的實(shí)現(xiàn)以及我開(kāi)發(fā)的JavaScript實(shí)現(xiàn)。另外我做過(guò)一個(gè)不同概率分布的可視化頁(yè)面，可以幫助你直觀理解不同分布及PDF參數(shù)對(duì)分布的影響。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的java生成指数分布随机数_生成特定分布随机数的方法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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