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吃豆子過橋問題

　　本題來自于百度校招面試題，通過一個簡單的智力問題理解遞歸問題的解法。

　　一：問題描述

　　一個人要過一座80米的橋，每走一米需要吃一顆豆子，他最多可以裝60顆豆子，問最少需要吃多少顆豆子才能走完橋？

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　　二：初步分析

　　1.一趟（不折回）最多只能走60米豆子就會被吃完；

　　2.如果有折回，必須保證能夠返回到有豆子的地點，且在折回點放下的豆子盡量多；

　　3.盡可能少的折回（次數和折回的距離都要少，畢竟一趟折回就要多消耗一個來回的豆子）；

　　4.折回點的豆子數量要求至少能夠走完剩余的部分；

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　　三：具體分析

　　1.由條件1得一趟走不完，由條件3我們可以考慮折回盡量少的次數能否走完。

　　先考慮只折回一次，那么此時就要求得折回點的位置。

　　2.由條件3得折回的距離盡量短，那么可以考慮最短的折回距離，很明顯應該是20米處；設折回點距離起始位置x米，則此時x=20;那么在x處，需要至少有60顆豆子，一次性拿60顆豆子走完最后一程。

　　那么問題就來了，怎么在x處囤積60顆豆子呢，假使他第一次信心滿滿的拿著60顆豆子，走到x處就只剩下40顆了，現在不夠走完剩余的全程啊，只能放下一部分折回去再取了，那放多少呢，很明顯由條件2得我們需要放下20顆，拿著20顆剛好可以折回到起點，繼續拿著60顆豆子第二次來到x處，此時手上還有40顆，再撿起第一次放的20顆，共60顆豆子剛好可以走完全程。

　　在這種情況下，我們易知，他共走了（20）*3+（60）=?120米，故吃掉120顆豆子。

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　　四：問題拓展

　　如果橋長81米呢？

　　此時我們如果還是只折回一次的話，在21米處還是得有60顆豆子，也就是需要搬運60顆豆子到21米處；分析得不可能只折回一次就搬運60顆豆子到21米處，因此需要再設置一個折返點y，此時x=21，0<y<x；

　　剛才考慮了80米的情況，那么我們可以假設現在在80米的基礎上加了1米，因此可以設y=1，即先折回兩趟到1米處，這樣y處就有60*3-5*(1)=175顆豆子，再從y到x折返1趟，x處就有60*2-3*(20)=60顆豆子，最后從x出發拿著60顆豆子就可以愉快的走過橋了。

　　因此他共走過5*(1)+3*(20)+(60)?=?125米，故吃掉125顆豆子。

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　　五：再次拓展

　　如果橋長n米，最多裝m顆豆子，最少消耗f(n,m)與n和m的關系是什么呢？

　　此時問題突然就變得很復雜了，別急，我們分析一下剛才的思路，橋長從80米到81米，就是要在1米處放足夠多豆子（當然只要不小于橋長80米時的消耗就行），那么這些豆子又需要從起點處運到1米處，那么在這1米內又需要消耗多少豆子呢？

　　我們可以考慮先把可裝的最大豆子數m固定（假設還是60），當橋長0<n<=60米時，f(n,m)?=?n；

　　當n=61時，需要在1米處囤積f(n-1,6)即f(60,60)=60顆豆子，囤積過程中需要往返一次，第一次到達1米處留下58顆豆子趕緊回去再取60顆到達1米處還剩59顆，現在有117顆足夠走完最后60米。消耗豆子1*2+(1)+60?=?63顆豆子；

　　當n=62時，需要在1米處囤積f(n-1,m)即f(61,60)=63顆豆子，囤積過程中需要往返一次，第一次到達1米處留下58顆豆子趕緊回去再取60顆到達1米處還剩59顆，現在有117顆足夠走完最后61米。消耗豆子1*2+(1)+63?=?66顆豆子；

　　以此類推...

　　那么問題來了，細心的你肯定發現了上面那種情況都是往返一次的，但是不是每次都只往返一次，比如當n=81時，該怎么確定往返的次數呢？

　　分析上面的遞推關系我們可以知道，每次往返的趟數與f(n-1,m)的大小有關。分析往返過程易知：最后一次到達1米處剩59顆豆子，之前每次到達1米處可以放下58顆豆子，假設之前到達了1米處T次，則有：

　　59?+?58?*?T?>=?f(n-1,60)??==>??T?>=?[f(n-1,60)-59]/58

　　由于T必須是整數，故T?=?ceil((f(n-1,60)-59)?/?58)，ceil(x)表示對x向上取整，即不小于x的最小整數

　　另一種表示方式為T?= floor( (f(n-1,60)-2)?/?58 )，這種寫法是為了方便編程實現，整型數的除法會自動向下取整

　　之前往返T次消耗掉2T顆豆子，最后一次到達1米處消耗1顆豆子，故總消耗：f(n-1,60)?+?2T?+?1顆豆子

　　這時候我們考慮將固定為60的m擴展為任意m，則有：f(n,m)?=?f(n-1,m)?+?ceil(?f(n-1,m)-(m-1))?/?(m-2)?)?*?2+?1?=?f(n-1,m)?+?(f(n-1,m)-2)?/?(m-2)?*?2+?1?;

　　好了到這里，這個問題也徹底解決完了，現在就讓我們用簡短的代碼來實現這個過程吧！

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　　六：編程實現?　　

1 #include<cmath> 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 typedef unsigned long long int64; 5 6 //參數說明:length為橋的長度,maxNum為最大可帶的豆子數 7 //遞歸實現 8 int64 getMinConsume(int length, int maxNum) { 9 if(length <= maxNum) 10 return length; 11 int64 get_n_1 = getMinConsume(length-1,maxNum); //上一次的豆子消耗 12 return get_n_1 + (get_n_1-2)/(maxNum-2) * 2 + 1; 13 } 14 //第二種公式實現——遞歸 15 int64 getMinConsume2(int length, int maxNum) { 16 if(length <= maxNum) 17 return length; 18 int64 get_n_1 = getMinConsume2(length-1,maxNum); //上一次的豆子消耗 19 return get_n_1 + ceil((double)(get_n_1-maxNum+1)/(maxNum-2)) * 2 + 1; 20 } 21 //非遞歸的實現方式 22 int64 getMinConsume_NoRecursive(int length, int maxNum) { 23 if(length <= maxNum) 24 return length; 25 int64 result = maxNum, i; 26 for(i=maxNum; i<length; i++) 27 result += (result-2)/(maxNum-2) * 2 + 1; 28 return result; 29 } 30 31 int main() 32 { 33 int maxNum=60, length; 34 for(length=50; length<201; length++) 35 cout<<length<<"米至少消耗"<<getMinConsume2(length,maxNum)<<"顆豆子!"<<endl; 36 return 0; 37 } 38 39 int main2() 40 { 41 while(1){ 42 cout<<"請輸入最大可帶的豆子數量和橋的長度: "; 43 int maxNum, length; 44 if(!(cin>>maxNum>>length)) 45 break; 46 cout<<"至少消耗"<<getMinConsume_NoRecursive(length,maxNum)<<"顆豆子!"<<endl; 47 } 48 return 0; 49 }

　　最后，感謝百度三面面試官耐心的引導我思考這道題，并不斷加大難度把這道題理解透徹，還監督我完成代碼的實現，在此謝謝溫和友善的劉面試官~

　　更多關于百度校招面試經歷請參見：百度校招面試經歷及總結（全部通過等offer中）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《吃豆子过桥问题》——经典智力题、面试题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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