實驗一

分別利用變步長復化梯形公式、變步長復化Simpson公式和復化Guass-Legendre I型公式計算下列式子，要求絕對誤差限為$0.5?10^{?7}$，并比較每種算法的計算時間。
（1）$\ln 2?\ln 3=?2{\int }_2^3\frac{1}{x^2?1}dx$
（2）$\pi =4{\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx$
（3）$\frac{2}{\ln 3}={\int }_0^1{3}^{x}dx$
（4）$e^2={\int }_1^{2}x{e}^{x}dx$

1、思路

1.1、變步長復化梯形公式和變步長Simpson公式，是在實際計算時，將區間逐次分半計算（每分一次就進行一次計算），并利用結果來判斷誤差的大小。
對于變步長復化梯形公式，有

• $I\approx T_{2n}+\frac{1}{3}(T_{2n}?T_n)$
  若$|T_{2n}?T_n|<{\epsilon }^{\prime }=3\epsilon$，并取$T_{2n}$為積分的近似值。
• 對于變步長Simpson公式，有 $I\approx S_{2n}+\frac{1}{15}(S_{2n}?S_n)$
  若$|S_{2n}?S_n|<{\epsilon }^{\prime }=15\epsilon$，并取$S_{2n}$為積分的近似值。

1.2、以上兩種，實際上限定了求積公式的精度。若以求公式的代數精度達到最大值的原則去選取求積節點和求出相應的求積系數，那就是Gauss求積公式。以Gauss-Legendre I型求積公式為例子，在區間[a,b]的復化積分公式為：
${\int }_b^{a}f(x)dx=\frac{h}{2}{\sum }_{k=0}^{n?1}[f(x_{k+\frac{1}{2}}?\frac{h}{2\sqrt{3}})+f(x_{k+\frac{1}{2}}+\frac{h}{2\sqrt{3}})]$

2、程序

function test_4_1 %分別利用變步長復化梯形公式、變步長復化Simpson公式、復化Gauss-Legendre I型公式計算。 % 絕對誤差限為1/2*10^(-7) % 將計算結果與精確解作比較，并比較各種算法的運行時間 promps={'選擇積分公式，若用變步長復化梯形公式，輸入T；用復化Simpson公式，輸入S；用復化Gauss_Legendre，輸入GL'}; Nb=char(inputdlg(promps,'text_4_1',1,{'T'})); if (Nb~='T'& Nb~='S'& Nb~='GL')errordlg('積分公式選擇錯誤！');return; end Nb_f=str2num(char(inputdlg('輸入積分式子題號1-4:','text_4_1',1,{'1'}))); if(Nb_f<1'&&Nb_f>4)errordlg('沒有該積分式子');return; end switch Nb_fcase 1fun=@(x)-2./(x.^2-1);a=2;b=3;case 2fun=@(x)4./(1+x.^2);a=0;b=1;case 3fun=@(x)3.^x;a=0;b=1;case 4fun=@(x)x.*exp(x);a=1;b=2; end r=0.5e-7;%誤差 if (Nb=='T')%變步長復化梯形公式tic;t=(fun(a)+fun(b))*(b-a)/2;t0=0;k=1;while abs(t-t0)>=3*r%用區間逐次分半求積分，T2n-Tn<3rh=(b-a)/(2^k);t0=t;t=(fun(a)+fun(b))*h/2+h*sum(fun(a+h:h:b-h));k=k+1;endtime=toc; elseif (Nb=='S')%變步長復化Simpson公式tic;[t,iter]=quad(fun,a,b,r);%quad()函數是MATLAB自帶的Simpson自適應函數time=toc; elseif (Nb=='GL')%復化Gauss-Legendre I型公式tic;promps={'請輸入用復化Gauss-Legendre I型公式應取的步長：'};h=str2num(char(inputdlg(promps,'test 4-1',1,{'0.01'})));N=(b-a)/h;t=0;for k=1:N-1xk=a+k*h+h/2;t=t+fun(xk-h/(2*sqrt(3)))+fun(xk+h/(2*sqrt(3)));endt=t*h/2;time=toc; end fprintf('方程(%s)的計算結果：%.10f\n',Nb,t); switch Nb_fcase 1result=log(2)-log(3);fprintf('精確解：ln2-ln3=%.10f\n',result);disp(['絕對誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運行時間：',num2str(time)]);case 2result=pi;fprintf('精確解：Π=%.10f\n',result);disp(['絕對誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運行時間：',num2str(time)]);case 3result=2/log(3);fprintf('精確解：2/log(3)=%.10f\n',result);disp(['絕對誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運行時間：',num2str(time)]);case 4result=exp(2);fprintf('精確解：exp(2)=%.10f\n',result);disp(['絕對誤差：',num2str(abs(t-result))]);disp(['運行時間：',num2str(time)]); end

3、運行結果

從結果可看出，精度最高的是Guass-Legendre I型公式，且步長取得越小，絕對誤差越小，但是相應所花費的時間越長。而計算時間最短的是變步長梯形公式，但是其絕對誤差三者中最大。
絕對誤差：Guass-Legendre I型公式<變步長Simpson公式<變步長復化梯形公式
計算時間：變步長復化梯形公式<變步長Simpson公式<Guass-Legendre I型公式

實驗二

利用復化Simpson公式和變步長復化Simpson公式計算下列定積分，并比較這兩種算法所需的節點數和計算時間，要求絕對誤差限為$0.5?10^{?7}$。
（1）${\int }_0^2((\frac{x^6}{10}?x^2+x)dx$
（2）${\int }_0^{1}x\sqrt{x}dx$
（3）${\int }_5^{200}\frac{1}{\sqrt{x}}dx$

1、思路

復化Simpson公式：
$S_n=\frac{h}{6}[f(a)+4{\sum }_{k=0}^{n?1}[f(x_{k+\frac{1}{2}})+2{\sum }_{k=1}^{n?1}f(x_k)+f(b)]$
變步長復化Simpson公式如實驗一，在MATLAB中可以調用庫函數quad()

2、程序

function test_4_1 promps={'選擇積分公式，用復化Simpson公式，輸入S；用變步長復化Simpson公式，輸入VS'}; Nb=char(inputdlg(promps,'text_4_2',1,{'S'})); if (Nb~='S'& Nb~='VS')errordlg('積分公式選擇錯誤！');return; end Nb_f=str2num(char(inputdlg('輸入積分式子題號1-3:','text_4_2',1,{'1'}))); if(Nb_f<1 &&Nb_f>3)errordlg('沒有該積分式子');return; end switch Nb_fcase 1fun=@(x)(x.^6/10)-x.^2+x;a=0;b=2;case 2fun=@(x)x.*sqrt(x);a=0;b=1;case 3fun=@(x)1./sqrt(x);a=5;b=200; end r=0.5e-7;%誤差 if (Nb=='S')%復化Simpson公式tic;promps={'請輸入用復化Simpson公式應取的步長：'};h=str2num(char(inputdlg(promps,'test 4-2',1,{'0.01'})));N=(b-a)/h;t1=0;t2=0;for k=0:N-1xk=a+k*h+h/2;t1=t1+fun(xk);endfor k=1:N-1xk=a+k*h;t2=t2+fun(xk);endt=(1+fun(b)+4*t1+2*t2)*h/6;n=2*N+1;time=toc; elseif (Nb=='VS')%變步長復化Simpson公式tic;[t,iter]=quad(fun,a,b,r);n=2*iter+1;time=toc; end fprintf('方程(%s)的計算結果：\n',Nb); if (Nb=='S')fprintf('用復化Simpson公式，所需的節點數：%d，求得的近似值：%.10f，運行時間：%.5f\n',n,t,time); elseif(Nb=='VS')fprintf('用變步長復化Simpson公式，所需的節點數：%d，求得的近似值：%.10f，運行時間：%.5f\n',n,t,time); end

3、運行結果

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATlAB运用——数值积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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