普通二叉查找樹的問題

??在開篇，我們提到過，普通二叉樹（二叉查找樹）在操作的時間復雜度上不一定遵循O(㏒n)，也有可能是O(n)，這是為什么呢？在上一篇中，我們明明插入都按照一定規則比較的呀，其實那是因為我們在上篇測試時執行了隨機插入的操作，如果此時利用上篇實現的二叉搜索樹將一段已排序好的數據一個個插入后，就會發現如下情況了：

??從圖中我們可以發現，把已排序的1-9數據進行正序和倒序插入后，樹的結構已變成單向左子樹或者右子樹了，如果我們在往里插入已排序的數據，那么單向左子樹或者右子樹越來越長，此時已跟單鏈表沒有什么區別了，因此對此結構的操作時間復雜度自然就由O(㏒n)變成O(n)了，這也就是普通二叉查找樹不是嚴格意義上O(㏒n)的原因。那么該如何解決這個問題呢？事實上一種解決的辦法就是要有一個稱為平衡的附加結構條件即：任何結點的深度不得過深，而這種數據結構就是我們本篇要分析的平衡二叉樹（AVL），它本身也是一種二叉查找樹，只不過不會出現前面我們分析的情形罷了，接下來我們就來分析一下這棵平衡二叉樹。

平衡二叉樹的定義

??通過上面的分析，我們明白的普通二叉查找樹的不足，也知道了如何去解決這個缺點，即構建樹時要求任何結點的深度不得過深（子樹高度相差不超過1），而最終這棵樹就是平衡二叉樹（Balanced Binary Tree），它是G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis在1962年在論文中發表的，因此又叫AVL樹。這里我們還需要明確一個概念，AVL樹只是實現平衡二叉樹的一種方法，它還有很多的其他實現方法如紅黑樹、替罪羊樹、Treap、伸展樹等，后面我們還會分析其他樹的實現。ok~，接著來了解一下AVL樹的特性：一棵AVL樹是其每個結點的左子樹和右子樹的高度最多相差1的二叉查找樹(空樹的高度為-1)，這個差值也稱為平衡因子（其取值可以是1，0，-1，平衡因子是某個結點左右子樹層數的差值，有的書上定義是左邊減去右邊，有的書上定義是右邊減去左邊，這樣可能會有正負的區別，但是這個并不影響我們對平衡二叉樹的討論）。如下圖

??圖(1)顯然就是一棵平衡二叉樹，它每個結點的左子樹和右子樹的高度最多相差1，同時也是一棵二叉查找樹，而圖二雖然也是一棵二叉查找樹，但是它每個結點的左子樹和右子樹的高度相差卻到達了2，因此不是平衡二叉樹。理解了平衡二叉樹的概念后，我們在思考一下，那些操作可能引起平衡發生變化呢？顯然只有那些引起結點數量變化的操作才可能導致平衡被改變，也就是刪除和插入操作了，如下圖，我們把6插入到圖a后，結構變成了圖b，這時原本的平衡二叉樹就失去平衡了。

??顯然圖b已失去平衡，如果發生這樣的情況，我們就必須考慮插入元素后恢復二叉樹的平衡性質，實際上也總是可以通過對樹進行簡單的修復來讓其重新恢復到平衡，而這樣的簡單操作我們就稱之為旋轉，當然旋轉也有單旋轉和雙旋轉之分，下面我們將會一一分析，這里有點需要明白的是，無論是插入還是刪除，只有那些從插入或者刪除點到根結點的路徑上的結點的平衡才有可能被改變，因為只有這些結點的子樹才可能發生變化，所以最終也只需針對這些點進行平衡修復操作即可。

平衡二叉樹的設計與實現

??ok~，有了旋轉的概念后，我們接著了解如何通過旋轉來修復一棵失衡的二叉樹，這里假設結點X是失衡點，它必須重新恢復平衡，由于任意結點的孩子結點最多有兩個，而且導致失衡的必要條件是X結點的兩棵子樹高度差為2(大于1)，因此一般只有以下4種情況可能導致X點失去平衡：?
① 在結點X的左孩子結點的左子樹中插入元素?
② 在結點X的左孩子結點的右子樹中插入元素?
③ 在結點X的右孩子結點的左子樹中插入元素?
④ 在結點X的右孩子結點的右子樹中插入元素?
以上4種情況，其中第①情況和第④情況是對稱的，可以通過單旋轉來解決，而第②種情況和第③情況是對稱的，需要雙旋轉來解決。在分析這四種情況前，我們先看看AVL的結點該如何設計的，其聲明如下：

package com.zejian.structures.Tree.AVLTree;/*** Created by zejian on 2016/12/25.* Blog : http://blog.csdn.net/javazejian [原文地址,請尊重原創]* 平衡二叉搜索樹(AVL樹)節點*/ public class AVLNode<T extends Comparable> {public AVLNode<T> left;//左結點public AVLNode<T> right;//右結點public T data;public int height;//當前結點的高度public AVLNode(T data) {this(null,null,data);}public AVLNode(AVLNode<T> left, AVLNode<T> right, T data) {this(left,right,data,0);}public AVLNode(AVLNode<T> left, AVLNode<T> right, T data, int height) {this.left=left;this.right=right;this.data=data;this.height = height;} }

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??可以看出，為了滿足平衡二叉樹的特性，需要在原來的二叉搜索樹(BST)的結點中添加一個height的字段表示高度，方便我們計算，這里強調一下，高度和深度一組相反的概念，高度是指當前結點到葉子結點的最長路徑，如所有葉子結點的高度都為0，而深度則是指從根結點到當前結點的最大路徑，如根結點的深度為0。這里約定空結點（空子樹）的高度為-1，葉子結點的高度為0，非葉子節點的高度則根據其子樹的高度而計算獲取，如下圖：?
?
ok~，了解上述的內容，下面就來分析4種可能失衡的情景。

平衡二叉樹的單旋轉算法與實現

左左單旋轉(LL)情景①分析

??從下圖可以看出，結點X并不能滿足AVL樹的性質，因為它的左子樹比右子樹深2層，這種情況就是典型的LL情景，此時需要通過右向旋轉來修復失衡的樹，如圖1，X經過右旋轉后變成圖2，W變為根結點，X變為W的右子樹，同時W的右子樹變為X的左子樹，樹又重新回到平衡，各個結點的子樹高度差都已在正常范圍。一般情況下，我們把X結點稱為失衡點，修復一棵被破壞的AVL樹時，找到失衡點是很重要的并把通過一次旋轉即可修復平衡的操作叫做單旋轉，從圖3和圖4可知，在原始AVL樹插入7結點后，結點9變為失衡點，樹再滿足AVL性質，因此需要對9結點進行左左單旋轉(即向右旋轉)后，得到圖4，我們發現此時并沒有操作樹的根結點(6)，實際上這是因為正常情況下，不必從樹的根結點進行旋轉，而是從插入結點處開始，向上遍歷樹，并更新和修復在這個路徑上的每個結點的平衡及其平衡信息(高度)即可。

其代碼實現如下，比較簡單：

/*** 左左單旋轉(LL旋轉) w變為x的根結點, x變為w的右子樹* @param x* @return*/ private AVLNode<T> singleRotateLeft(AVLNode<T> x){//把w結點旋轉為根結點AVLNode<T> w= x.left;//同時w的右子樹變為x的左子樹x.left=w.right;//x變為w的右子樹w.right=x;//重新計算x/w的高度x.height=Math.max(height(x.left),height(x.right))+1;w.height=Math.max(height(w.left),x.height)+1;return w;//返回新的根結點 }

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右右單旋轉(RR)情景④分析

??接著再來看看右右單旋轉(RR)的情景，如下圖，可以發現與左左單旋轉的情況恰好是一種鏡像關系，同樣結點X并不能滿足AVL樹的性質，在這樣的情景下，需要對X結點進行左旋轉來修復樹的平衡，如圖1經左旋轉后變了圖2，此時X變為了根結點，W變為X的左孩子，X的左子樹變為W的右子樹，而樹又重新恢復了平衡。如圖3和圖4的實例情景，原始的AVL樹在12處插入結點18后，結點10就變成了失衡點，因為10的左子樹和右子樹的高度相差2，顯然不符合AVL樹性質，需要對結點10進行右右單旋轉修復(向左旋轉)，然后得到圖4，此時樹重新回到了平衡，這便是右右單旋轉(RR)的修復情景。

代碼實現如下：

/*** 右右單旋轉(RR旋轉) x變為w的根結點, w變為x的左子樹* @return*/ private AVLNode<T> singleRotateRight(AVLNode<T> w){AVLNode<T> x=w.right;w.right=x.left;x.left=w;//重新計算x/w的高度w.height=Math.max(height(w.left),height(w.right))+1;x.height=Math.max(height(x.left),w.height)+1;//返回新的根結點return x; }

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平衡二叉樹的雙旋轉算法與實現

??前面兩種情景都已分析完，它們都是基于單旋轉的算法，但這種算法存在一個問題，那就是對情景②③無法生效，根本問題在于子樹Y太深了，如下圖所示：

??顯然經過一次單旋轉的修復后無論是X或者W作為根結點都無法符合AVL樹的性質，此時就需要用雙旋轉算法來實現了。由于子樹Y是在插入某個結點后導致X結點的左右子樹失去平衡，那么就說明子樹Y肯定是非空的，因此為了易于理解，我們可以把子樹Y看作一個根結點和兩棵子樹，如下圖所示：

??ok~，明白了單旋轉對于情景②③的窘境，下面我們就通過雙旋轉算法來解開這個窘境。

左右雙旋轉(LR)情景②分析

??為了重新平衡，通過上述的分析顯然不能把X根結點，而X與W間的旋轉也解決不了問題，那唯一的旋轉就是把Y作為新根。這樣的話，X、W就不得不成為Y的孩子結點，其中W作為Y的左孩子結點，而X成為Y的右孩子結點。這里我們以下圖為例來分析，為了達到以上結果，需要W、Y進行單旋轉（圖1），這里我們可把WY組成的子樹看成前面的右右旋轉情景，然后進行左向旋轉，得到圖2，W變為Y的左子樹同時Y的左子樹B變成W的右子樹，其他不變，到此第一次旋轉完成，進行第二次旋轉，以X結點向右進行旋轉(同樣可看作左左情景)，由圖2得到圖3，X變成Y的右孩子結點并且Y的右子樹C變成X的左子樹，第二次旋轉完成，樹也重新恢復到平衡。

??在左右雙旋轉實例圖123中，在原AVL樹種插入結點7后，結點8變成了失衡點，此時需要把6結點變為根結點才能重新恢復平衡。因此先進行左向旋轉再進行右向旋轉，最后樹恢復平衡。算法代碼實現如下：

/*** 左右旋轉(LR旋轉) x(根) w y 結點 把y變成根結點* @return*/ private AVLNode<T> doubleRotateWithLeft(AVLNode<T> x){//w先進行RR旋轉x.left=singleRotateRight(x.left);//再進行x的LL旋轉return singleRotateLeft(x); }

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右左雙旋轉(RL)情景③分析

??對于右左雙旋轉(RL)情景和左右雙旋轉(LR)情景是一對鏡像，旋轉的原理上一樣的，這里就不廢話了，給出下圖協助理解即可(已很清晰了)：

實現代碼如下：

/*** 右左旋轉(RL旋轉)* @param w* @return*/ private AVLNode<T> doubleRotateWithRight(AVLNode<T> x){//先進行LL旋轉x.right=singleRotateLeft(x.right);//再進行RR旋轉return singleRotateRight(x); }

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??好~，到此4種情況都已分析完畢，接著我們就利用這種四種情況來重寫AVL樹的插入操作過程。

平衡二叉樹插入操作的實現

??實際上，有了上述四種情況后，編寫插入操作的編碼細節并不會太困難，這里我們給出主要思路和代碼實現即可（很清晰的注釋），與BST（二叉查找樹）的插入實現原理一樣，使用遞歸算法，根據值大小查找到插入位置，然后進行插入操作，插入完成后，我們需要進行平衡判斷，評估子樹是否需要進行平衡修復，需要則利用上述的四種情景套入代碼即可，最后要記得重新計算插入結點路徑上的高度。代碼實現如下：

/** * 插入方法 * @param data */ @Override public void insert(T data) {if (data==null){throw new RuntimeException("data can\'t not be null ");}this.root=insert(data,root); }private AVLNode<T> insert(T data , AVLNode<T> p){//說明已沒有孩子結點,可以創建新結點插入了.if(p==null){p=new AVLNode<T>(data);}else if(data.compareTo(p.data)<0){//向左子樹尋找插入位置p.left=insert(data,p.left);//插入后計算子樹的高度,等于2則需要重新恢復平衡,由于是左邊插入,左子樹的高度肯定大于等于右子樹的高度if(height(p.left)-height(p.right)==2){//判斷data是插入點的左孩子還是右孩子if(data.compareTo(p.left.data)<0){//進行LL旋轉p=singleRotateLeft(p);}else {//進行左右旋轉p=doubleRotateWithLeft(p);}}}else if (data.compareTo(p.data)>0){//向右子樹尋找插入位置p.right=insert(data,p.right);if(height(p.right)-height(p.left)==2){if (data.compareTo(p.right.data)<0){//進行右左旋轉p=doubleRotateWithRight(p);}else {p=singleRotateRight(p);}}}else;//if exist do nothing//重新計算各個結點的高度p.height = Math.max( height( p.left ), height( p.right ) ) + 1;return p;//返回根結點 }

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平衡二叉樹刪除操作的實現

??關于平衡二叉樹的刪除，我們這里給出一種遞歸的實現方案，和二叉查找樹中刪除方法的實現類似，但是在移除結點后需要進行平衡檢測，以便判斷是否需要進行平衡修復，主要明白的是，這種實現方式在刪除時效率并不高，不過我們并不打算過多討論它，更復雜的刪除操作過程將放在紅黑樹中進行討論。下面給出實現代碼：

/*** 刪除方法* @param data*/ @Override public void remove(T data) {if (data==null){throw new RuntimeException("data can\'t not be null ");}this.root=remove(data,root); }/*** 刪除操作* @param data* @param p* @return*/ private AVLNode<T> remove(T data,AVLNode<T> p){if(p ==null)return null;int result=data.compareTo(p.data);//從左子樹查找需要刪除的元素if(result<0){p.left=remove(data,p.left);//檢測是否平衡if(height(p.right)-height(p.left)==2){AVLNode<T> currentNode=p.right;//判斷需要那種旋轉if(height(currentNode.left)>height(currentNode.right)){//LLp=singleRotateLeft(p);}else{//LRp=doubleRotateWithLeft(p);}}}//從右子樹查找需要刪除的元素else if(result>0){p.right=remove(data,p.right);//檢測是否平衡if(height(p.left)-height(p.right)==2){AVLNode<T> currentNode=p.left;//判斷需要那種旋轉if(height(currentNode.right)>height(currentNode.left)){//RRp=singleRotateRight(p);}else{//RLp=doubleRotateWithRight(p);}}}//已找到需要刪除的元素,并且要刪除的結點擁有兩個子節點else if(p.right!=null&&p.left!=null){//尋找替換結點p.data=findMin(p.right).data;//移除用于替換的結點p.right = remove( p.data, p.right );}else {//只有一個孩子結點或者只是葉子結點的情況p=(p.left!=null)? p.left:p.right;}//更新高度值if(p!=null)p.height = Math.max( height( p.left ), height( p.right ) ) + 1;return p; }

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平衡二叉樹的最少結點數和最多結點數問題

??關于最少結點數和最多結點數的問題，為了方便理解和簡單化問題，這里我們假設AVL樹的高度是h，N(h)表示高度為h的AVL樹的結點數。對于求解高度為h的AVL樹的最少結點數，則應該盡可能用最少結點數來填充該樹，現在假設左子樹填充到的高度為h-1，根據AVL樹的特性，右子樹的高度只能填充到h-2，因此高度為h的AVL樹的最小結點數為：

N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1

其中：

• N(h-1) 代表高度為h-1的左子樹的最小結點數
• N(h-2) 代表高度為h-2的右子樹的最小結點數
• 1 代表當前結點(根)。

求解上述遞歸公式可得（計算過程涉及線性代數的知識點，這里就不詳細分析求解過程，畢竟我們主要求時間復雜度相關問題）其中n是AVL樹的節點數：

N(h)=O(1.618h)=>h=1.44logn≈O(logn)

??通過上述的遞推公式，我們也可以發現最少結點數的求解公式恰好符合斐波那契數列的規律（F(n)=F(n-1)+F(n-2)），因此求解最少結點數也就變得容易多了。接著，我們采用同樣的方法計算最大結點數，為了得到最大結點數，則左右子樹的高必須相等，即都填充到h-1，由于結點都充滿了，那么該樹不僅是AVL樹而且還是一個完全二叉樹了，則會有如下公式：

N(h) = N(h-1) + N(h-1) + 1 = 2N(h-1) + 1

最終求解該遞歸公式得：

N(h)=O(2h)=>h=logn≈O(logn)

??因此在兩種情況下，AVL樹的性質可以確保帶有n個結點的AVL樹的高度為O(logn)。這也意味著AVL樹的操作在時間復雜度上近乎于O(logn)，也就不可能出現BST(二叉查找樹)的最糟糕情況O(n)。?

（完）

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https://www.huxiu.com/member/1656091.html

（完）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的java数据结构与算法之平衡二叉树(AVL树)的设计与实现中的事实代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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