一、原碼、反碼、補碼和移碼的一般求法

碼制一般求法

原碼	符號位用0表示正數，1表示負數，其余位不變。
反碼	正數的反碼與原碼一樣，負數的反碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反。
補碼	正數的補碼與原碼一樣，負數的補碼是其反碼尾部加1。
移碼	不管正負數，將其補碼的符號位取反即可。

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二、移碼的“真正”求法

移碼：移碼表示法是在數X上增加一個偏移量來定義的，通常用于表示浮點數的階碼。

如果機器字長為n，規定偏移 量為2^n-1，則移碼定義如下：

X 為純整數：[X]_移=2^n-1+X（-2^n-1≤X＜2^n-1）

X 為純小數：[X]_移=1+X（-1≤X＜1）

【舉個栗子】

[+1]_移=2^8-1+1=129=1 000 0001

[-1]_移=2^8-1 -1=127=0 111 1111

[+127]_移=2^8-1+127=255=1 111 1111

[-127]_移=2^8-1 -127=1=0 000 0001

[+45]_移=2^8-1+45=173=1 010 1101

[-45]_移=2^8-1 -45=83=0 101 0011

[+0.5]_移=1+0.5=1.5=1 100 0000

[-0.5]_移=1-0.5=0.5=0 100 0000

[+0]_移=[-0]_移=1 000 0000

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三、原碼、反碼、補碼和移碼的“由來”

1. 原碼

原碼：符號位用0表示正數，1表示負數，其余位不變。

對于計算機，加減乘除是最基礎的運算，要設計的盡量簡單。

計算機辨別“符號位”顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜！于是科學家想出了將符號位也參與運算的方法。

我們知道，根據運算法則，減去一個正數等于加上一 個負數，即：1-1=1+(-1)=0，所以機器可以只有加法而沒有減法，這樣計算機運算的設計就更簡單了。

在運算中，原碼進行加法運算是沒有問題的，但是在減法運算中會出問題，如：（D表示十進制）

1D-1D

=1D+(-1)D

=[0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[1 000 0010]_原

=-2D

這個結果明顯是錯誤的！

如果用原碼表示，讓符號位也參與計算，顯然對于減法來說，結果是不正確的。這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數的原因。

所以為了解決原碼做減法的問題，出現了反碼。

2. 反碼

反碼：正數的反碼與原碼一樣，負數的反碼是對它的原碼（除符號位外）各位取反。

【舉個栗子】

使用反碼計算 1-1 過程如下：

1D-1D

= 1D+(-1)D

= [0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[0 000 0001]_反+[1 111 1110]_反

=[1 111 1111]_反

=[1 000 0000]_原

= - 0D

發現用反碼計算減法，結果的真值部分是正確的。

而唯一的問題其實就出現在“0”這個特殊的數值上。雖然人們理解上+0 和-0 是一樣的， 但在這里 0 帶符號是沒有任何意義的，而且會有[0 0000000]原和[1 0000000]原兩個編碼表示 0。 于是補碼出現了，解決了 0 的符號和 0 的兩個編碼問題，以及原碼和補碼進行減法運算時出現的問題。

3. 補碼

補碼：正數的補碼與原碼一樣，負數的補碼是其反碼尾部加1。

使用補碼計算 1-1 過程如下：

1D-1D

=1D+(-1)D

=[0 000 0001]_原+[1 000 0001]_原

=[0 000 0001]_補+[1 111 1111]_補

=[0 000 0000]_反

=[0 000 0000]_原

=0D

這樣 0 用 0 000 0000 表示，而以前出現問題的-0 則不存在了，且在補碼中 0 也只有一種唯一的表示形式。

假設機器字長為 8 位，使用補碼則可以用[1 000 0000]_補表示-128D；

(-1)D+(-127)D

=[1 000 0001]_原+[1 111 1111]_原

=[1 111 1111]_補+[1 000 0001]_補

=[1 000 0000]_補

最終運算結果應為 [1 1000 0000]_補，但由于機器字長為 8 位，最左邊的“1”被丟掉了，故只剩下[1 000 0000]_補。 -1-127 的結果應該是-128，在用補碼運算的結果中，[1 000 0000]_補就是-128。

但是注意因為實際上是使用以前的 -0 的補碼來表示 -128，所以-128 并沒有原碼和反碼表示（對-128 的補碼表示[1 000 0000]_補算出來的原碼是[0 000 0000]_原，這是不正確的)。

使用補碼，不僅僅修復了 0 的符號以及 0 的兩個編碼的問題，而且還能夠多表示一個最低數。這就是為什么 8 位二進制使用原碼或反碼表示的范圍為[-127，+127]，而使用補碼表示的范圍為[-128，127]的原因。

因為機器使用補碼，所以對于編程中常用到的 32 位 int 類型，可以表示范圍是（最高位是符號位）：[-2³¹，2³¹-1]，使用補碼表示時可以多保存一個最小值 - 2³¹。

假設機器字長為 n 位，則使用補碼表示的最小的一個數是 -2^n-1。

4. 移碼

移碼：不管正負數，將其補碼的符號位取反即可。

常用來比較大小，一般會把浮點數的階碼用移碼表示。當把數值用移碼表示出來可一眼看出它們的大小，這樣很容易判斷階碼的大小，移碼可用于簡化浮點數的乘除法運算。

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四、原碼、反碼、補碼和移碼的取值范圍

碼制定點整數定點小數

原碼	-(2n-1-1) ~ +(2n-1-1)	-(1-2-(n-1)) ~ +(1-2-(n-1))
反碼	-(2n-1-1) ~ +(2n-1-1)	-(1-2-(n-1)) ~ +(1-2-(n-1))
補碼	-2n-1 ~ +(2n-1-1)	-1 ~ +(1-2-(n-1))
移碼	-2n-1 ~ +(2n-1-1)	-1 ~ +(1-2-(n-1))

【定點小數的取值范圍的推算】

以補碼為例：一個數用 n 位存儲，用掉一個符號位后，還有 (n-1) 位，如果小數點在最右邊，此時表示的是整數，可表示 -2^n-1 ~ +(2^n-1-1) 范圍的數，把小數點左移 n-1 位，相當于除以 2^(n-1) ，結果為：

-1 ~ +(1-2^-(n-1))

同理可以將其他碼制的范圍求出來。

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【總結】

總之，反碼用來解決負數加法運算問題，將減法運算轉換為加法運算，從而簡化運算規則；

補碼解決負數加法運算正負零問題，彌補了反碼的不足。

反碼與補碼都是為了解決負數運算問題，跟正數沒關系，因此，不管是正整數還是正小數，原碼，反碼，補碼都全部相同。

將補碼符號位取反即得到相應的移碼。

總結

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