目錄

• • 一、各坐標系簡要介紹
  • 二、坐標系轉換
  • • 2.1 世界坐標系轉為相機坐標系
    • 2.2 相機坐標系轉為物理圖像坐標系
    • 2.3 物理圖像坐標系轉為圖像坐標系
    • 2.4 總結
    • 2.5 為什么要使用齊次坐標
  • 參考文獻

一、各坐標系簡要介紹

首先介紹數字圖像處理領域中的圖像坐標系，如上圖左圖所示，坐標系O_0為圖像坐標系，其原點是在圖像的左上角，每一個像素通過其所在位置的列數和行數索引 (u,v) 來表示。

另外需要建立圖像坐標與物理單位的關系，而后才能將目標的真實世界坐標轉換為圖像坐標。即建立以物理單位表示的物理圖像坐標系（有些文章將這個坐標系稱為圖像坐標系，而將數字圖像中的坐標系稱為像素坐標系，但是本文延續大多數把數字圖像的坐標系稱為圖像坐標系的習慣，就把此坐標系稱為物理圖像坐標系），即上圖左圖中的坐標系O_1，其橫縱軸用X,Y來標識，單位一般為mm（根據具體成像設備而定，不過單位不會影響坐標系的轉換）。

再介紹世界坐標系與相機坐標系，如上圖右圖所示，坐標系O為相機坐標系，為一個3維坐標系，各維度分別用x,y,z表示，z軸稱為攝像機光軸，與圖像平面垂直，并且交點O_1為物理圖像坐標系的原點。
上圖右圖左上角為世界坐標系，可以用來描述環境內的任何物體的位置，包括相機的位置，其各軸用X_w,Y_w,Z_w來標識。并且世界坐標系可以通過旋轉與平移轉換為相機坐標系。

二、坐標系轉換

2.1 世界坐標系轉為相機坐標系

點P為空間中的任一點，設其世界坐標系下的坐標為(X_w,Y_w,Z_w), 相機坐標系下的坐標為(x,y,z), 則可以通過相機坐標系與世界坐標系的關系可以由(X_w,Y_w,Z_w)計算(x,y,z):

R, t 分別為3×3的旋轉矩陣和3×1的平移向量。

2.2 相機坐標系轉為物理圖像坐標系

由第一節中圖的右圖所示，p為P在圖像平面上的投影，設p的物理圖像坐標為(X, Y), P的相機坐標系坐標為(x, y, z)，則根據比例關系得：

其中f為焦距，轉為齊次坐標+矩陣形式為：

2.3 物理圖像坐標系轉為圖像坐標系

設物理圖像坐標系的原點在圖像坐標系的位置為（u_0,v_0）（一般在圖像的中心，不過有時候會存在偏差等）。對于物理圖像坐標系中的任意一點(X,Y)都可以轉換為圖像坐標系中的坐標(u, v):

其中dX, dY 是成像元件的每個像素所對應的物理寬高，單位一般為mm。u_0, v_0, dX, dY 均為相機的固有參數。
通過齊次坐標將其寫成矩陣形式：

2.4 總結

結合上述公式即可以將任意一點的世界坐標轉換為圖像坐標：

M1，M2分別僅與相機的內外參數相關。
由上式可知，當給出目標的世界坐標時，可以得到三個方程，消去z后可求得(u, v)
反之給出圖像坐標(u, v)并不能求得其唯一的世界坐標，因為矩陣M為3×4維，不可逆，僅能解得一個射線方程，即該射線上的點投影均為(u, v)

2.5 為什么要使用齊次坐標

（個人思考）
假如不使用齊次坐標的話，物理圖像坐標系轉為圖像坐標系的矩陣將為2×3維，而相機坐標系轉物理圖像坐標系的矩陣變為2×3維，這兩個矩陣分別為2.4節公式第一行等號右邊的前兩個矩陣，可以看出，不使用齊次坐標的話矩陣無法相乘，那就無法完成坐標轉換。

參考文獻

《機器視覺理論及應用》 電子工業出版社

本文僅為本人學習過程中的筆記以及一些個人思考，文中如有錯誤的地方還請指正

總結

以上是生活随笔為你收集整理的世界坐标系/相机坐标系/图像坐标系 转换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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