卡爾曼濾波是數據融合處理以及現代信號處理中十分重要，但是讀書的時候在我電過于注重形式，對其內涵認識不足，工作之后才發現廖桂生老師在矩陣分析的課程上說的太對了，其實對于數學的定義的理解以及公式背后的含義才是應用數學的精髓。在這里我們通過簡單的標量卡爾曼濾波的例子和二維矢量卡爾曼濾波的例子來理解卡爾曼濾波的工作流程，將整個流程與推導過程進行對應，最后給出簡單的matlab實現。
這里通過標量與簡單的矢量（2維）的卡爾曼濾波的例子，理解卡爾曼濾波的原理與流程

1.1 標量卡爾曼濾波

以一維運動的無人機為例，假設無人機速度均值為2m/s，速度方差為0.4m/s,我們只用位置表示無人機的狀態，即只對無人機位置進行估計。整個問題屬于標量卡爾曼濾波。

請看下圖：t=k-1時無人機的位置服從紅色的正態分布。假設位置在21m，位置誤差為0.3m，即μ=21，σ=0.3。

（1）系統的狀態方程

根據無人機的這個位置，我們可以根據位置與速度經驗公式，也就是”系統的結構信息“，預測出t=k時刻它的位置：位置均值是21+2=23m，我們對無人機速度的不確定度為0.4m，那么此時小車位置預測誤差為0.5m（0.5是這樣得到的：速度與位置都是隨機變量，兩個隨機變量的和的方差是0.5，用了正態分布的線性疊加定理，即位置和速度兩正態分布的和也滿足正態分布，方差是二者平方 ）。可以看出0.5>0.3，此時分布變“胖”了，這很好理解——因為在遞推的過程中又加了一層噪聲（即預測不穩定度），所以不確定度變大了。

該部分對應的其實是模型的狀態方程：x(n) = a1*x(n-1)+v1(n)+b1*u(n)+v1(n)=

a1*x(n-1)+b1*2+v(n)，其中x(n)表示n時刻的位置，v1(n)表示噪聲，也就是位置誤差，在這里其方差=0.3m，均值為0，u(n)=2表示無人機的飛行速度，v2(n)表示速度誤差，這里為0.2m，合并之后，a1=1,b1=1。

（2）系統的測量方程

無人機的位置實時用雷達進行測量，因此整個系統的測量方程可以表示為y(n) = c1*x(n)+v2(n),其中y(n)表示雷達的測量距離，c1=1，v2(n)表示雷達的測量噪聲，也就是誤差，在這里測量誤差為0.4m

卡爾曼濾波的問題是如何使用n時刻的數據和測量數據 ，預測下一個時刻n+1時刻的位置。一般采用線性形式寫做：

均方誤差為：

上面的表達式中存在兩個未知量k,g。當均方誤差最小的時候

? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（1）

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

由表達式（1）可以得到

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3)? ? ?

表達式左側加上再減去

? ? ?（4）

表達式可以化簡為：

? ? ? ? （5）

將表達式和帶入表達式（5）得到

? ? ? ? ?(6)

化簡得到

? ? ? ? ?(7)

由正交性可以得到表達式（7）等價于下面的表達式（8）

為了避免純估計帶來的偏差，我們在t=k時刻對小車的位置坐標進行一次雷達測量，當然雷達對小車距離的測量也會受到種種因素的影響，會帶來測量誤差，這個測量誤差的均方差是0.4cm，假設此時測量值是25cm(即均值為25)。而且測量結果也復合正態分布，于是可以畫出小車在t=1時的位置服從藍色分布。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的卡尔曼滤波含义理解与公式推导(原作者王一哲，兰景公司，景贤计划)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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