從二維坐標(biāo)系說起：

二維平面直角坐標(biāo)系定義可分為兩類，從逆時針角度看，第一類為X坐標(biāo)軸在Y坐標(biāo)軸后；第二類為X坐標(biāo)軸在Y坐標(biāo)軸前。

有這兩類坐標(biāo)系添加第三個坐標(biāo)軸Z,得到空間直角坐標(biāo)系，在默認添加的坐標(biāo)軸Z垂直紙面朝向外側(cè)下，分別得到左手空間直角坐標(biāo)系和右手空間直角坐標(biāo)系。

而對于坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，最簡單的依然從二維坐標(biāo)系講起。

以第一類二維平面直角坐標(biāo)為例，涉及的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換有下圖中4種情況：a,b,c,d.

基礎(chǔ)一 原坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)到新坐標(biāo)系

?a與b為已知原坐標(biāo)系下坐標(biāo)，從原坐標(biāo)系（藍色表示）旋轉(zhuǎn)角度θ，獲得新坐標(biāo)系下坐標(biāo)（紅色表示）：

此處注意：定義角度的正負應(yīng)統(tǒng)一，即存在原坐標(biāo)系與新坐標(biāo)系的概念，新坐標(biāo)系相對于原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度為逆時針時為正值。

針對情況a有：

?

即：

?

（注：從簡單直觀方面理解為，當(dāng)原坐標(biāo)系轉(zhuǎn)角度θ到新坐標(biāo)系過程中，y坐標(biāo)值在新坐標(biāo)系中是變大的，x坐標(biāo)值在新坐標(biāo)系中是變小的。因此，y方向的三角系數(shù)都為正，x方向存在負值情況。可以標(biāo)記為沿旋轉(zhuǎn)方向數(shù)，第一條坐標(biāo)軸數(shù)值是變大的，條件是旋轉(zhuǎn)方向角度為無符號數(shù)值。）

因此，針對a和b兩種情況，由原坐標(biāo)系經(jīng)過旋轉(zhuǎn)一定角度，轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系下，得到的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

?

其中θ為具有正負號的角度值，當(dāng)為正值時代表原坐標(biāo)系沿逆時針旋轉(zhuǎn)；為負值時代表原坐標(biāo)系沿順時針旋轉(zhuǎn)。

基礎(chǔ)二 新坐標(biāo)系坐標(biāo)轉(zhuǎn)回原坐標(biāo)系

而情況c與d是表示已知新坐標(biāo)系下坐標(biāo)，經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換獲得在原坐標(biāo)系下坐標(biāo)：

此處注意：定義角度的正負應(yīng)統(tǒng)一，即存在原坐標(biāo)系與新坐標(biāo)系的概念，新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度為逆時針時為正值。

在c與d情況中，因為定義了逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正，所以c中旋轉(zhuǎn)的角度為（-θ），d中旋轉(zhuǎn)的角度為（θ）。而沿逆時針旋轉(zhuǎn)時，在該方向上第一條坐標(biāo)軸為Y軸，所以基本公式為：

小結(jié)：

定義了坐標(biāo)軸的指向，以及新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度的正負關(guān)系后，可以確定原坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到新坐標(biāo)系運算與你運算正弦系數(shù)符號變換。

因此，要確定旋轉(zhuǎn)矩陣內(nèi)容必須要確定兩個因素，一是坐標(biāo)軸的指向，二是旋轉(zhuǎn)角度的正負定義。

（1）當(dāng)存在原坐標(biāo)系與新坐標(biāo)系概念時，必然的旋轉(zhuǎn)角度的正負定義必須一致，此時由原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，可嚴(yán)密的進行返回坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

（2）當(dāng)只存在當(dāng)前坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)到另一個坐標(biāo)系下坐標(biāo)時，根據(jù)確定的旋轉(zhuǎn)角度正負，參考基礎(chǔ)一即可轉(zhuǎn)換。基礎(chǔ)一中只表示了逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正的情況，順時針旋轉(zhuǎn)為正的情況可仿照進行。

（3）無論什么情況下，選取旋轉(zhuǎn)角度定義為正（無論逆時針還是順時針旋轉(zhuǎn)）時作為基礎(chǔ)，沿旋轉(zhuǎn)方向數(shù)的第一條坐標(biāo)軸的坐標(biāo)值應(yīng)變大，即在新坐標(biāo)系下對應(yīng)該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值組合為cos+sin的形式，而另一坐標(biāo)軸上坐標(biāo)值為-sin+cos形式。

在基礎(chǔ)一與基礎(chǔ)二中都可印證（3）的說明。再增加一條印證示例：

在情況e中，定義從藍色坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到紅色坐標(biāo)系，定義圖中狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)角度θ為正，則此時坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

?

情況f中，依然定義圖中狀態(tài)為旋轉(zhuǎn)角度θ為正值，但是從紅色坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到藍色坐標(biāo)系：

從旋轉(zhuǎn)方向遇到的第一個坐標(biāo)軸Y坐標(biāo)開始整理，則有：

?

旋轉(zhuǎn)矩陣的形式依然是正規(guī)形式，以x，y為順序排列為：

?

在情況e中定義了目標(biāo)坐標(biāo)系在原坐標(biāo)系的逆時針方向為正，情況f中定義了目標(biāo)坐標(biāo)系在原坐標(biāo)系的順時針方向為正，這兩種情況從純坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方面印證了上面（3）中總結(jié)的，即以正值旋轉(zhuǎn)角度為基礎(chǔ)，沿旋轉(zhuǎn)方向第一條坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)為cos+sin形式：e中第一條坐標(biāo)軸為x軸，f中第一條坐標(biāo)軸為y軸。從坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與逆轉(zhuǎn)換方面印證了（1）中總結(jié)結(jié)果，即存在正轉(zhuǎn)換與逆轉(zhuǎn)換時，定義的正旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)一致，此時的正反旋轉(zhuǎn)矩陣相乘為單位矩陣。

?

基礎(chǔ)三 平面坐標(biāo)系中討論左右手系的轉(zhuǎn)換問題

情況h中從藍色坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度θ到紅色坐標(biāo)系下，兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸向定義不同，產(chǎn)生類似左右手系問題，在這類轉(zhuǎn)換中，首先將目標(biāo)坐標(biāo)系的軸向假設(shè)與原坐標(biāo)系軸向定義為一類，然后更換坐標(biāo)符號獲得兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

第一步：假設(shè)X’與Y’軸互換，此時原坐標(biāo)系與目標(biāo)坐標(biāo)系定義類似，相差角度θ，定義目標(biāo)坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正，得到：

?

根據(jù)假設(shè)坐標(biāo)與真實坐標(biāo)關(guān)系獲得兩坐標(biāo)系真實關(guān)系：

按順序排放整理：

即，進行左右系的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換時的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

以情況i作為驗證示例：

依然定義目標(biāo)（紅）坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到原（藍）坐標(biāo)系時，目標(biāo)坐標(biāo)系相對原坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度為逆時針時為正。

假設(shè)原坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸向與目標(biāo)坐標(biāo)系的軸向類似定義，為x（偽），y（偽）。

則

?

?

?

按順序整理得到：

得由目標(biāo)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)回原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

由

得該轉(zhuǎn)換過程成立。

?

小結(jié)：在處理坐標(biāo)系向量的順序整理時需要進行公式的元素調(diào)換。

（1）????針對等號左邊結(jié)果的調(diào)換如

要變?yōu)?/p>

?

時，只需等號右面矩陣的行進行相應(yīng)對調(diào)：

?

（2）????只針對等號右面最后原坐標(biāo)值向量內(nèi)容調(diào)換時，等式的左右都需要變化。如

但是要保持等號左邊的向量順序不變時需要兩步：

第一步：首先利用（1）將等號左邊向量調(diào)換為：

驗證，變換后的結(jié)果與初始狀態(tài)一致。

?

基礎(chǔ)四 三維空間直角坐標(biāo)系的正轉(zhuǎn)換問題

三維空間直角坐標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可由二維平面直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換擴展來，在二維坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換只有一個角度的旋轉(zhuǎn)，也就產(chǎn)生一個旋轉(zhuǎn)矩陣。在三維空間直角坐標(biāo)系中存在三個方向的角度旋轉(zhuǎn)問題，因此產(chǎn)生三個旋轉(zhuǎn)矩陣相乘的結(jié)果。但是針對沿某一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)某一角度時，又回歸到二維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)問題。因此，三維空間直角坐標(biāo)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)問題是三個二維平面直角坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)問題的順序操作問題。（但是由于某一角度旋轉(zhuǎn)后，后一角度的旋轉(zhuǎn)是否對前者有耦合效應(yīng)，應(yīng)該深入研究探討）

下面首先討論三維空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。

以右手坐標(biāo)系為例，研究原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系經(jīng)過首搖，縱搖，橫搖角度的轉(zhuǎn)換過程以及逆過程。

A 原坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)系

首先定義坐標(biāo)系以及旋轉(zhuǎn)角度的正負定義

定義右手坐標(biāo)系如圖，沿各坐標(biāo)軸正向的反方向看，另外兩坐標(biāo)平面沿逆時針旋轉(zhuǎn)時，定義為沿該坐標(biāo)軸正角度旋轉(zhuǎn)。

由此定義沿X，Y，Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)角分別為α，β，γ。

從X->Y->Z軸的順序，分別分析坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的形式。

沿X軸方向旋轉(zhuǎn)α角度時對應(yīng)的關(guān)系圖

根據(jù)圖中關(guān)系可以得到第一次轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)，由于沿X軸旋轉(zhuǎn)，所以新坐標(biāo)中X信息不變。根據(jù)以上基礎(chǔ)問題的討論可以得到：

?

沿Y軸方向旋轉(zhuǎn)β角度時對應(yīng)的關(guān)系圖

根據(jù)圖中關(guān)系可以得到第二次轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)，由于沿Y軸旋轉(zhuǎn)，所以新坐標(biāo)中Y信息不變。根據(jù)以上基礎(chǔ)問題的討論可以得到：

?

注：沿Y的旋轉(zhuǎn)矩陣與沿X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣形式出現(xiàn)不同，原因在于，當(dāng)沿X軸旋轉(zhuǎn)時，沿正旋轉(zhuǎn)角度的第一條邊為Y軸，即Y值變大。而沿Y軸進行旋轉(zhuǎn)時，第一條邊Z軸的對應(yīng)值變大，而在向量擺放時Z值放在最下方，因此利用基礎(chǔ)問題三中的等號右邊最后向量重現(xiàn)擺放時需要整體變換，變換結(jié)果為以上所示。

?

沿Z軸方向旋轉(zhuǎn)γ角度時對應(yīng)的關(guān)系圖

根據(jù)圖中關(guān)系可以得到第三次轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)，由于沿Z軸旋轉(zhuǎn)，所以新坐標(biāo)中Z信息不變。根據(jù)以上基礎(chǔ)問題的討論可以得到：

?

注：沿Z軸與沿X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣類似，因為這兩種情況下按旋轉(zhuǎn)方向得到的坐標(biāo)軸順序與XYZ順序一致，因此不需要進行順序重排，而沿Y軸旋轉(zhuǎn)時，Z軸在X軸前面，因此需要重排順序，重排后，矩陣形式發(fā)生變化。從另一個角度說，當(dāng)沿Z軸和X軸旋轉(zhuǎn)時，坐標(biāo)變大的分別為X值和Y值，因此其對應(yīng)的矩陣行都為正，沿Y軸旋轉(zhuǎn)時，坐標(biāo)變大的為Z值，因此Z坐標(biāo)對應(yīng)的行矩陣系數(shù)為正。

?

如果知道原坐標(biāo)系通過沿X、Y、Z軸的順序進行旋轉(zhuǎn)到新坐標(biāo)系，則新坐標(biāo)系下坐標(biāo)為：

基礎(chǔ)五 三維空間直角坐標(biāo)系的逆轉(zhuǎn)換問題

若已知從原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的角度旋轉(zhuǎn)關(guān)系，如原坐標(biāo)系首先沿X軸旋轉(zhuǎn)α，然后沿Y軸旋轉(zhuǎn)β，最后沿Z軸旋轉(zhuǎn)γ。則坐標(biāo)正轉(zhuǎn)換時（即）的公式：

?

進行三維坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換時，一致新坐標(biāo)系下坐標(biāo)，以及新舊坐標(biāo)系的角度旋轉(zhuǎn)順序和信息。

則由以上信息可推測坐標(biāo)逆轉(zhuǎn)換為：

?

R(α)與R’(α)，R(β)與R’(β)，R(γ)與R’(γ)互為逆矩陣。旋轉(zhuǎn)順序為沿Z軸、Y軸和X軸進行轉(zhuǎn)換。

1.首先從Z軸轉(zhuǎn)換：

定義的沿Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)時角度為正，此時進行的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為從紅色坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，即旋轉(zhuǎn)角度為（-γ）。針對從新坐標(biāo)系（0-X’Y’Z’）到原坐標(biāo)系的逆轉(zhuǎn)換有兩種方式：

（1）????采用原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度正負定義獲取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，然后將（-γ）代入公式即可：

根據(jù)前面所講，確定旋轉(zhuǎn)矩陣時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角θ正方向和第一個坐標(biāo)軸X’可快速確定旋轉(zhuǎn)公式：?

將實際旋轉(zhuǎn)角度（-γ）代入得：

?

（2）????不考慮整個系統(tǒng)定義的角度正負（此時適應(yīng)條件中只給出兩坐標(biāo)系間的相差的角度，沒有正負定義時），按給出的角度（數(shù)值應(yīng)為一個正值）和兩坐標(biāo)系的實際旋轉(zhuǎn)關(guān)系確定旋轉(zhuǎn)矩陣。此時，由新坐標(biāo)系（0-X’Y’Z’）順時針方向旋轉(zhuǎn)角度γ得到原坐標(biāo)系下坐標(biāo)，則在沿旋轉(zhuǎn)方向中第一條坐標(biāo)軸為Y軸（即數(shù)值變大軸）：

方法（1）和方法（2）的結(jié)果完全相同。但是方法（1）存在角度的正負定義問題，并且前后連貫一致，多在測繪中的姿態(tài)儀中出現(xiàn)，對于姿態(tài)儀中給出的姿態(tài)角度可以用一套公式表示（如方法1中結(jié)果的第一種表達方法），而方法（2）只存在一種結(jié)果形式，因此不適用存在整體性角度正負定義的問題。

則沿Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣

2.沿Y軸轉(zhuǎn)換

沿Y軸方向旋轉(zhuǎn)角度時對應(yīng)的關(guān)系圖

根據(jù)圖中關(guān)系可以得到沿Y軸順時針旋轉(zhuǎn)β角度到原坐標(biāo)系下，從定義的沿Y軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度為正的角度確定旋轉(zhuǎn)角度為（-β）。在該圖中沿正旋轉(zhuǎn)角度時，第一個坐標(biāo)軸為Z軸，所以得到的基本旋轉(zhuǎn)矩陣為：?

3.沿X軸旋轉(zhuǎn)

沿X軸方向旋轉(zhuǎn)α角度時對應(yīng)的關(guān)系圖

由于沿X軸旋轉(zhuǎn)，所以新坐標(biāo)中X信息不變。沿X軸順時針旋轉(zhuǎn)角度α得到原坐標(biāo)系下坐標(biāo)。根據(jù)定義的角度旋轉(zhuǎn)正負關(guān)系，定義逆時針旋轉(zhuǎn)角度為正，因此旋轉(zhuǎn)的角度為（-α）。沿X軸逆時針正旋轉(zhuǎn)時，第一個坐標(biāo)軸為Y軸，因此基本公式為：

?

綜上，經(jīng)過沿Z-Y-X軸的坐標(biāo)你旋轉(zhuǎn)，將在新坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)回到原坐標(biāo)系下：

?

總結(jié)：從一個坐標(biāo)系轉(zhuǎn)到新坐標(biāo)系，一般需要定義旋轉(zhuǎn)角度的正負，一旦正負的方向定義后，從原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和從新坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)都可用這一個方向定義，此時需要考慮的是操作中出現(xiàn)了從原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)的正轉(zhuǎn)換和新坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的逆轉(zhuǎn)換，逆轉(zhuǎn)換時須將采集的原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度取反代入同一套公式。

另一種方法，對于只使用從原坐標(biāo)系到新坐標(biāo)系或者只使用新坐標(biāo)系到原坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)過程時，可以單獨對旋轉(zhuǎn)過程定義一套旋轉(zhuǎn)角度正負使用問題，比如姿態(tài)中的橫搖一般定義為右舷下降為正值，那么假設(shè)當(dāng)前橫搖值為+10°，要從姿態(tài)傳感器坐標(biāo)系到水平坐標(biāo)系，在XOZ平面，認為順時針方向旋轉(zhuǎn)為正值，則此時X軸坐標(biāo)值應(yīng)為旋轉(zhuǎn)變大方，因此系數(shù)組合為Xcos+Zsin模式，旋轉(zhuǎn)矩陣也就確定下來了。該例子中，旋轉(zhuǎn)矩陣的確定存在一下2個條件：（1）直接使用了姿態(tài)儀給出的數(shù)值；（2）定義了順時針方向為正方向（只有這樣定義，才能直接用姿態(tài)儀給出的數(shù)值，否則要取反使用）.

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的坐标系转换分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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