$Date：2022?10?04$

$Everyone$ $has$ $to$ $grow$ $up,$ $but$ $not$ $everyone$ $understand$ $grew$ $up!$

文章目錄

• 🍕1. 紙牌三角形🍕
• • 🍔題目🍔
  • 🍔思路🍔
  • 🍔代碼🍔
  • 🍔總結(jié)🍔

🍕1. 紙牌三角形🍕

🍔題目🍔

A,2,3,4,5,6,7,8,9 共9張紙牌排成一個(gè)正三角形（A按1計(jì)算）。要求每個(gè)邊的和相等。如果考慮旋轉(zhuǎn)、鏡像后相同的算同一種，一共有多少種不同的排法呢？三角形如下

A 2 34 5 6 7 8 9

🍔思路🍔

本題是典型的全排列算法題目，通過對(duì)9個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排列，就可以計(jì)算出所有的三角形種類
什么是全排列？
全排列算法是一種經(jīng)典的遞歸算法，如{1，2，3}的全排列為{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}，一共6鐘排列結(jié)果。全排列就是將全部可能出現(xiàn)的排序都列出來。而每一個(gè)數(shù)字能出現(xiàn)在任一個(gè)位置，如果不固定的話，那排序起來就會(huì)十分混亂，排序結(jié)果也不好記錄，所以遞歸求解的思路是每一次全排列都固定一個(gè)元素，然后求剩下元素的全排列，直到就剩一個(gè)元素的全排列時(shí)結(jié)束本次全排列，而且每一次全排列完成后，都應(yīng)先將數(shù)字排序恢復(fù)到本次全排列開始前的狀態(tài)，以保證下一次的全排列都是基于初始狀態(tài)進(jìn)行的。

舉個(gè)例子
對(duì){1, 2, 3}進(jìn)行全排列，下面按照上述全排列遞歸算法的思路實(shí)際模擬一遍
（每一次遞歸的第一步都是先判斷當(dāng)前遍歷的是不是最后一個(gè)元素，如果是則說明全排列完成一次）

• 第1次遞歸調(diào)用，從頭開始遍歷，此時(shí)選擇當(dāng)前第一個(gè)元素1為固定元素，并將固定元素1與當(dāng)前遍歷的元素1進(jìn)行換位，剩余元素為{2, 3}，此時(shí)排列為{1, 2, 3}；
• 第2次遞歸調(diào)用（基于第1次）：從剩余元素開始遍歷，此時(shí)選擇當(dāng)前第一個(gè)元素2為固定元素，并將固定元素2與當(dāng)前遍歷的元素2進(jìn)行換位，剩余元素為{3}，此時(shí)排列為{1, 2, 3}；
• 第3次遞歸調(diào)用（基于第2次）：從剩余元素開始遍歷，此時(shí)選擇當(dāng)前第一個(gè)元素3為固定元素，并將固定元素3與當(dāng)前遍歷的元素3進(jìn)行換位，剩余元素為空，此時(shí)排列為{1, 2, 3}；
• 第4次遞歸調(diào)用（基于第3次）：因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得第一個(gè)全排列結(jié)果{1, 2, 3}，第4次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(3 <-> 3)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；
• 第5次遞歸調(diào)用（基于第2次）：第2次遞歸往下遍歷，將固定元素2與遍歷元素3進(jìn)行換位，剩余元素為空，此時(shí)排列為{1, 3, 2}；
• 第6次遞歸調(diào)用（基于第5次）：因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得第二個(gè)全排列結(jié)果{1, 3, 2}， 第6次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(3 <-> 2)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，所以將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(2 <-> 2)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；
• 第7次遞歸調(diào)用（基于第1次）：第1次遞歸往下遍歷，并將固定元素1與遍歷元素2進(jìn)行換位，此時(shí)排列為{2, 1, 3}；
• 第8次遞歸調(diào)用（基于第7次）：此時(shí)選擇剩余元素的第一個(gè)元素3為固定元素，并將固定元素3與當(dāng)前遍歷的元素3進(jìn)行換位，剩余元素為空，此時(shí)排列為{2, 1, 3}；
• 第9次遞歸調(diào)用（基于第8次）：因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得第三個(gè)全排列結(jié)果{2, 1, 3}，第9次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(3 <-> 3)，得到開始前的排列{2, 1, 3}；
• 第10次遞歸調(diào)用（基于第7次）：第7次遞歸往下遍歷，將固定元素1與遍歷元素3進(jìn)行換位，剩余元素為空，此時(shí)排列為{2, 3, 1}；
• 第11次遞歸調(diào)用（基于第10次）：因?yàn)榈?1次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得遍歷結(jié)束，取得第四個(gè)全排列結(jié)果{2, 3, 1}， 第11次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?0次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(1 <-> 3)，得到開始前的排列{2, 1, 3}；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(2 <-> 1)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；
• 第12次遞歸調(diào)用（基于第1次）：第1次遞歸往下遍歷，并將固定元素1與遍歷元素3進(jìn)行換位，剩余元素為{1}，此時(shí)排列為{3, 2, 1}；
• 第13次遞歸調(diào)用（基于第12次）：此時(shí)選擇剩余元素第一個(gè)元素1為固定元素，與遍歷元素1進(jìn)行換位，剩余元素為空，此時(shí)排列為{3, 2, 1}；
• 第14次遞歸調(diào)用（基于第13次）：因?yàn)榈?4次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得遍歷結(jié)束，取得第五個(gè)全排列結(jié)果{3, 2, 1}， 第14次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?3次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(1 <-> 1)，得到開始前的排列{3, 2, 1}；
• 第15次遞歸調(diào)用（基于第12次）：第12次遞歸往下遍歷，將固定元素1與遍歷元素2進(jìn)行換位，此時(shí)排列為{3, 1, 2}；
• 第16次遞歸調(diào)用（基于第15次）：因?yàn)榈?6次遞歸調(diào)用時(shí)已經(jīng)選擇到了最后一個(gè)元素，遍歷結(jié)束，取得遍歷結(jié)束，取得第六個(gè)全排列結(jié)果{3, 1, 2}， 第16次遞歸結(jié)束；
• 因?yàn)榈?2次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(1 <-> 3)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；
• 因?yàn)榈?次遞歸調(diào)用已經(jīng)遍歷結(jié)束，將本次遞歸調(diào)用開始前進(jìn)行的換位元素返回原位置(1 <-> 1)，得到開始前的排列{1, 2, 3}；

遞歸算法處理

確定遞歸函數(shù)的參數(shù)和返回值
參數(shù)：這里要求的是全排列的排列個(gè)數(shù)，所以參數(shù)一定有元素?cái)?shù)組；要對(duì)整個(gè)數(shù)組進(jìn)行遍歷，那么就少不了下標(biāo)和范圍，所以這里的參數(shù)就是{數(shù)組、起始下標(biāo)、數(shù)組長(zhǎng)度}
返回值：這里不需要返回值，全排列個(gè)數(shù)通過全局變量進(jìn)行累加計(jì)算，若放在函數(shù)中，則每次都會(huì)被重置

void func(vector<int>& arr, int start, int len);

確定終止條件
上面一開始就說到了終止條件：當(dāng)遍歷到最后一個(gè)元素時(shí)，即說明完成一個(gè)全排列
所以終止條件就是當(dāng) 下標(biāo)值 >= 數(shù)組長(zhǎng)度

if (start >= len)

確定單層遞歸的邏輯
由上面的模擬可以看到，每一次遞歸都是新的遍歷，所以有一個(gè)最外圍的循環(huán)遍歷邏輯，而每次遞歸前后都有換位操作，所以最終確定如下單層邏輯

for () {swap();func();swap(); }

🍔代碼🍔

void func(vector<int>& arr, int start, int len) {if (start >= len){count++;return;}for (i = start; i < len; i++){swap();func(arr, i + 1, len);swap();} }

以上是我對(duì)全排列算法的粗糙理解，但是本題還有一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：考慮旋轉(zhuǎn)、鏡像后相同的算同一種
因?yàn)槿切斡腥齻€(gè)角，也就是說每個(gè)數(shù)字都能在三個(gè)角上出現(xiàn)一次，所以旋轉(zhuǎn)后相同算同一種的話，就需要將全排列總數(shù) / 3；
鏡像對(duì)CV戰(zhàn)士來說好理解，就是2分一模一樣的數(shù)據(jù)，所以鏡像后算同一種的話，就需要將全排列總數(shù) / 2；
最終計(jì)算結(jié)果就是 全排列總數(shù) / 3 / 2，即總數(shù) / 6；

🍔總結(jié)🍔

遞歸算法一般都很難理順，自己一開始自己按原理推理的時(shí)候也一直弄亂，記不清當(dāng)前遞歸的條件。本題的關(guān)鍵就在于全排列算法和確定旋轉(zhuǎn)/鏡像的關(guān)系

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【Code pratice】—— 纸牌三角形的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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