目錄

• $A$組
• • 4.曲線$r=\cos 2\theta$在$\theta =\frac{\pi }{4}$處的切線方程為______。
• $B$組
• • 6.設$f(x)=|x(3?x)|$，則（??）
    $(A)x=0$是$f(x)$的極值點，但$(0,0)$不是曲線$y=f(x)$的拐點；
    $(B)x=0$不是$f(x)$的極值點，但$(0,0)$是曲線$y=f(x)$的拐點；
    $(C)x=0$是$f(x)$的極值點，且$(0,0)$是曲線$y=f(x)$的拐點；
    $(D)x=0$不是$f(x)$的極值點，且$(0,0)$也不是曲線$y=f(x)$的拐點。
  • 14.設函數$f(x)$可導，且滿足$x{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(?x)+1,f(0)=0$，求：
  • • （1）$f^{\prime }(x)$；
    • （2）函數$f(x)$的極值。
• $C$組
• • 10.設$$f(x)=?\begin{array}{ll}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2x}{n}+?+\cos \frac{n?1}{n}x\right),& x>0,\\ 1,& x=0,\\ f(?x),x<0.& \end{array}$$
  • • （1）求$f^{\prime }(0)$；
    • （2）求$f(x)$在$[?\pi ,\pi ]$上的最大值。
• 寫在最后

$A$組

4.曲線$r=\cos 2\theta$在$\theta =\frac{\pi }{4}$處的切線方程為______。

解??曲線參數方程$\{\begin{array}{l}x=\cos 2\theta \cos \theta ,\\ y=\cos 2\theta \sin \theta ,\end{array}\theta =\frac{\pi }{4}$對應$(x_0,y_0)=(0,0)$，
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_{\theta =\frac{\pi }{4}}=\frac{?2\sin 2\theta \sin \theta +\cos 2\theta \cos \theta }{?2\sin 2\theta \cos \theta ?\cos 2\theta \sin \theta }{|}_{\theta =\frac{\pi }{4}}=1,$$
??切線方程為$y=x$。（這道題主要利用了參數方程求解）

$B$組

6.設$f(x)=|x(3?x)|$，則（??）
$(A)x=0$是$f(x)$的極值點，但$(0,0)$不是曲線$y=f(x)$的拐點；
$(B)x=0$不是$f(x)$的極值點，但$(0,0)$是曲線$y=f(x)$的拐點；
$(C)x=0$是$f(x)$的極值點，且$(0,0)$是曲線$y=f(x)$的拐點；
$(D)x=0$不是$f(x)$的極值點，且$(0,0)$也不是曲線$y=f(x)$的拐點。

解??由于$f(x)=|x(3?x)|?0,f(0)=0$，可知$x=0$為$f(x)$的極小值點。由$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x?x^2,& 0<x<3,\\ ?3x+x^2,& x?0\text{或}x?3,\end{array}$可得
$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}3?2x,& 0<x<3,\\ ?3+2x,& x<0\text{或}x>3.\end{array} \\ {f}^{\prime \prime }(x)=\{\begin{array}{ll}?2,& 0<x<3,\\ 2,& x<0\text{或}x>3.\end{array} \end{gathered}$$
??由于在$x=0$兩側$f^{\prime \prime }(x)$異號，因此$(0,f(0))=(0,0)$為曲線$y=f(x)$的拐點。故選$(C)$。（這道題主要利用了拐點和極值點定義求解）

14.設函數$f(x)$可導，且滿足$x{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(?x)+1,f(0)=0$，求：

（1）$f^{\prime }(x)$；

解??在方程$x{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(?x)+1$中用$?x$代替$x$，得$?x{f}^{\prime }(?x)=f^{\prime }(x)+1$，從而有
$$\{\begin{array}{l}x{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(?x)+1,\\ ?x{f}^{\prime }(?x)=f^{\prime }(x)+1.\end{array}$$
??解得$f^{\prime }(x)=\frac{x?1}{1+x^2}$。

（2）函數$f(x)$的極值。

解??由$f(0)=0$，得$f(x)?f(0)={\int }_0^x\frac{t?1}{1+t^2}\mathrm{d}t$，即$f(x)=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)?\arctan x$。
??由$f^{\prime }(x)=\frac{x?1}{1+x^2}$，得函數$f(x)$的駐點$x_0=1$，且唯一。而$f^{\prime \prime }(x)=\frac{?x^2+2x+1}{(1+x^2{)}^2}$，所以$f^{\prime \prime }(1)>0$。故$f(1)=\frac{1}{2}\ln 2?\frac{\pi }{4}$是函數$f(x)$的極小值。（這道題主要利用了構造方程求解）

$C$組

10.設$$f(x)=?\begin{array}{ll}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left(1+\cos \frac{x}{n}+\cos \frac{2x}{n}+?+\cos \frac{n?1}{n}x\right),& x>0,\\ 1,& x=0,\\ f(?x),x<0.& \end{array}$$

（1）求$f^{\prime }(0)$；

解??當$x>0$時，
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n?1}\cos \frac{i}{n}x=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\sum _{i=0}^{n?1}\cos \frac{i}{n}x?\frac{x}{n}\\ & =\frac{1}{x}{\int }_0^1\cos t\mathrm{d}t=\frac{1}{x}\sin t{|}_0^x=\frac{\sin x}{x};\end{array}$$
??當$x<0$時，$f(?x)=\frac{\sin (?x)}{?x}=\frac{\sin x}{x}$。
??綜上所述，$f(x)=?\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x=0,\\ 1,& x=0.\end{array}$
??故
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(0)& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)?f(0)}{x?0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}?1}{x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x?x}{x^2}=0.\end{array}$$

（2）求$f(x)$在$[?\pi ,\pi ]$上的最大值。

解??由$f(x)$是$[?\pi ,\pi ]$上的偶函數，故只研究$[0,\pi ]$上的情形即可。
??當$0<x?\pi$時，$f^{\prime }(x)=\frac{x\cos x?\sin x}{x^2}$，令$g(x)=x\cos x?\sin x$，則$g^{\prime }(x)=?x\sin x?0$，且僅當$x=\pi$時，$g^{\prime }(x)=0$，故$g(x)$在$(0,\pi ]$嚴格單調遞減，$g(x)<g(0)=0$，于是$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$單調遞減，則$f(x)$的最大值在$x=0$處取得，$f_{\max }=f(0)=1$。（這道題主要利用了積分定義求解）

寫在最后

??如果覺得文章不錯就點個贊吧。另外，如果有不同的觀點，歡迎留言或私信。
?? 歡迎非商業轉載，轉載請注明出處。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的张宇1000题高等数学 第五章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。