跨時期橫截面的混合–潘登同學的計量經濟學筆記

文章目錄

• • 跨時期橫截面的混合--潘登同學的計量經濟學筆記
• 獨立橫截面的混合
• • 例子1：不同時期的婦女生育率
  • 例子2: 教育回報和工資中性別差異的變化
  • 跨時結構性變化的鄒至莊檢驗
  • 政策分析的一般做法
• 兩時期面板數據分析
• • 失業率與犯罪率的例子
  • 破案率與犯罪率的例子
  • 兩時期面板數據做政策分析的一般步驟
  • • 項目發生在第二個時期的例子
    • 項目發生在兩個時期的例子
  • 多于兩期的政策分析
  • • 多期的政策分析例子
• 核心解釋變量與時期交互
• 一階差分面板數據的缺陷

跨時期橫截面的混合包含兩種

一種是獨立混合橫截面：可以簡單理解為將兩個時間點的橫截面放到一起(一般是政策分析)

另一種是面板數據：這種數據是跟蹤同一組樣本，在不同時點得到的；如果我們想收集面板數據，我們要在不同時間追蹤相同的一些人，家庭，企業或者城市等

獨立橫截面的混合

使用混合橫截面的一個理由是： 加大樣本容量，把不同時間點從同一總體中抽取的多個隨機樣本混合起來使用，可以獲取更精密的估計量和更具功效的檢驗統計量；

所以需要注意的是： 僅當因變量和某些自變量保持著不隨著時間而變化的關系時，混合才是有用的

典型地說，總體在不同時期有不同的分布，我們可以通過包含時間的虛擬變量來使得截距不同來解決這一問題。

例子1：不同時期的婦女生育率

在該例子中，我們增加了年度的虛擬變量，相當于改變了截距項，但是可能系數的解釋也會隨著時間的改變而不同，下面看一個交互作用的例子

例子2: 教育回報和工資中性別差異的變化

在該例子中，除了對交互項的分析外，我們還應該注意到一點，對數工資能把平減因子弄到截距項里面； 其次，如果將所有自變量與虛擬變量交互就相當與做了兩次估計方程

跨時結構性變化的鄒至莊檢驗

與之前檢驗兩組數據在多元回歸中是否有差別一樣(之前用的例子是男女組別的估計方程)，我們可以將這種檢驗用在兩個不同時期；

• $SS{R}_p$:混合估計的殘差平方和
• $SS{R}_{ur}$:對兩個時期分別估計而得到的兩個SSR之和
  $$F=\frac{SS{R}_p?SS{R}_{ur}}{SS{R}_{ur}}?\frac{n?2(k+1)}{k}$$

原假設：兩個時期的方程沒有差別

因為鄒至莊檢驗本質上是F檢驗，其實與直接對含有虛擬變量的那些項做F檢驗與上面的結果一致

推廣 更一般地，該檢驗可以用于檢驗T個時期是否有顯著差異

• $SS{R}_{ur}=SS{R}_1+SS{R}_2+\dots +SS{R}_T$: 對T個時期中的每個時期都做一個回歸，并將每個回歸的殘差平方和加起來
• $SS{R}_p$:混合估計的殘差平方和
  $$F=\frac{SS{R}_p?SS{R}_{ur}}{SS{R}_{ur}}?\frac{n?T(k+1)}{(T?1)k}$$

原假設：T個時期的方程都沒有差別

政策分析的一般做法

以下是一個政策分析的例子

所以可以將上例抽象為以下方法；當某個外生事件(常常是政府的政策改變)，影響了個人、家庭或者企業等的運行環境的時候，便產生了自然實驗。一個自然實驗通常有一個不受政策變化影響的對照組和一個被認為受政策變化影響的處理組(這里的對照組、處理組表示的是核心解釋變量的不同，例如上例的是否在三英里內)

令$d_2$為虛擬變量(指示政策改變前后)，$dT$表示核心解釋變量(處理組為1,否則為0)

$$y={\beta }_0+{\delta }_0{d}_2+{\beta }_{1}dT+{\delta }_1{d}_{2}dT+其他因素$$
其中${\delta }_1$度量了政策效應， 若回歸中沒有其他因素，$\widehat{{\delta }_1}$就是倍差估計量
$$\widehat{{\delta }_1}=(\overline{y_{2,T}}?\overline{y_{2,C}})?(\overline{y_{1,T}}?\overline{y_{1,C}})$$
其中第一個下標表示年，第二個表示對照組和處理組

兩時期面板數據分析

另$i$表示橫截面單位，$t$表示時期，我們可以將單個可觀測解釋變量的模型寫成
$$y_{it}={\beta }_0+{\delta }_0{d}_2+{\beta }_1{x}_{it}+a_i+u_{it}$$
之所以寫成上面這樣形式（后面加了一個$a_i$)，是因為是單變量模型(多變量也可以這樣用)中的無法觀測因素$u$包含了隨時間而變化和不隨時間而變化的因素，$a_i$就是從中分離出來的不隨時間而變化的因素；$a_i$概括了影響著$y_{it}$但又不隨著時間而變化的所有無法觀測的因素，$a_i$一般被成為非觀測效應，也常常被成為固定效應，也有稱其為非觀測異質性；而$u_{it}$則被成為特異性誤差或時變誤差

我們要估計的是${\beta }_1$而不是想知道$a_i$，所以要回到OLS估計，那么我們就必須假定$a_i$與$x_{it}$無關，所以只是寫法上面有所改變，本質上還是
$$y_{it}={\beta }_0+{\delta }_0{d}_2+{\beta }_1{x}_{it}+v_{it}$$
其中$v_{it}=a_i+u_{it}$，即使我們可以假定$v_{it}$與$x_{it}$無關，但是多數時候$a_i與x_{it}$可能是相關的，所以用上式估計的效果并不好，我們可以采用一階差分來做
$$\begin{gathered} y_{i2}=({\beta }_0+{\delta }_0)+{\beta }_1{x}_{i2}+a_i+u_{i2}(t=2) \\ {y}_{i1}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{i1}+a_i+u_{i1}(t=1) \end{gathered}$$
上下做差
$$\begin{gathered} y_{i2}?y_{i1}={\delta }_0+{\beta }_1(x_{i2}?x_{i1})+(u_{i2}?u_{i1}) \\ \to △y_i={\delta }_0+{\beta }_1△x_i+△u_i \end{gathered}$$
該方程稱為一階差分方程，要想估計${\beta }_1$，最重要的假定就是$△u_i$與$△x_i$無關，如果在每個時期，特異性誤差$u_{it}$與這兩個時期解釋變量都無關，那么這個假定就是正確的(這其實就是時間序列的TS.3的嚴格外生假定)，通過該方程估計出的${\beta }_1$的估計量稱為一階差分估計量；

值得注意的是$△u_i$與$△x_i$無關的假設不一定合理，但是加入更多的控制變量總是對的…

失業率與犯罪率的例子

即使我們的出發點不是非觀測效應模型，利用不同時期的差分的另一個視角是：
我們不去估計一個標準的橫截面關系(這會遇到遺漏變量的困擾，以致難以做出其他條件不變的結論)；而是通過差分方程，明確地考慮解釋變量在不同時期的變化如何影響y在同一時期內的變化；

破案率與犯罪率的例子

兩時期面板數據做政策分析的一般步驟

再理解對照組實驗組的思想，在項目評估背景中，在第一時期先得到個人、企業等單位的一個樣本集；在第二個時期，其中的一部分個人、企業參與下一時期舉辦的某個項目，那些不參與項目的單位則作為對照組；

構造最簡單的非觀測效應模型
$$y_{it}={\beta }_0+{\delta }_0{d}_2+{\beta }_1{x}_{it}+a_i+u_{it}$$
其中$y_{it}$為結果變量，$d_2$為為時期的虛擬變量，$x_{it}$為項目參與的虛擬變量；將第二期與第一期差分便得到：
$$△y_i={\delta }_0+{\beta }_1△x_i$$
如果項目參與僅發生在第二個時期，那么在差分方程中${\beta }_1$就有一個非常簡單的表達式：
$$\widehat{{\beta }_1}=\overline{△y_{treat}}?\overline{△y_{control}}$$

注意 并不是說項目只能發生在一個時期，兩個時期的不同(不完全相同就行)個人、企業等參與了項目，也能進行政策分析；

項目發生在第二個時期的例子

項目發生在兩個時期的例子

多于兩期的政策分析

注意差分的時候是用相鄰兩期來做差分，對于N個截面單位和T期數據，如果將差分方程寫成一個整體
$$\begin{gathered} △y_{it}={\alpha }_0+{\alpha }_{3}d{3}_t+{\alpha }_{4}d{4}_t+\dots +{\alpha }_{T}d{T}_t+{\beta }_1△x_{it1}+{\beta }_2△x_{it2}+?+{\beta }_k△x_{itk}+△u_{it} \\ t=2,3,\dots ,T \end{gathered}$$

在這個一階差分方程中，每個單位i有T-1個時期的數據，總共有$N(T?1)$個觀測

多期的政策分析例子

企業園對失業貼補申請的影響

北卡羅來納州的犯罪率

核心解釋變量與時期交互

我們除了想知道核心解釋變量在不同時期對被解釋變量的影響，我們還想知道不同時期核心解釋變量的斜率系數是否相同，這時候就要求我們對解釋變量與時期虛擬變量的交互項做檢驗；這時候要采用鄒至莊檢驗(本質是F檢驗)對一階差分方程進行檢驗；

注意 雖然我們不能估計那些不隨時間而變化的變量的斜率，但仍可以檢驗這些不隨時間而變化的變量的偏效應是否隨著時間而變化；

一階差分面板數據的缺陷

解釋變量根本不隨時間變化，這種方法就毫無作用

有回歸元嚴格外生的假定

若一個或多個解釋變量存在測量誤差，對含有測量誤差的解釋變量進行差分，相對差分誤差來說，會導致更大的偏誤

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计量经济学】跨时期横截面的混合的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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