目錄

• 乘法逆元小結
• • 逆元的定義
  • 求解逆元的方法
  • • 1. 快速冪
    • • 測試代碼
    • 2.拓展歐幾里得
    • • 測試代碼
    • 3.線性算法
    • • 例題
      • AC代碼

乘法逆元小結

參考自：點擊此處

乘法逆元，一般用于求（a / b）(modp)的值（p 通常為質數），是解決模意義下分數數值的必要手段。
關于求余，有以下三種規則：
加法：(a+b)%m=(a%m+b%m)%m(a+b)%m=(a%m+b%m)%m
減法：(a?b)%m=(a%m?b%m)%m(a?b)%m=(a%m?b%m)%m
乘法：(a?b)%m=(a%m?b%m)%m(a?b)%m=(a%m?b%m)%m
但是這個規則在除法不適用，所以就要用到乘法逆元。

逆元的定義

若a ? x = 1 ( mod b )，且 a 與 b 互質，那么我們就能定義:x 為 a 的逆元，記為a?1
所以我們也可以稱 x 為 a 在 mod b 意義下的倒數，
進而對于 a / b ( mod p ) ，我們可以求出 b 在 mod p 下的逆元，然后乘上 a ，再 mod p，就是要求的值了。

求解逆元的方法

1. 快速冪

想要了解快速冪的知識請點此處
時間復雜度：O(log n)
要利用到費馬小引理:

若p為素數，a為正整數，且a、p互質
則有a ^ (p ? 1) = 1 ( mod p )。

這個我們就可以發現它這個式子右邊剛好為 1 。
所以我們就可以放入原式，就可以得到：
a ? x = 1 ( mod p )
a ? x = a ^ (p ? 1) ( mod p )
x = a ^ (p ? 2) ( mod p )
所以我們可以用快速冪來算出 a ^ (p - 2) ( mod p ) 的值，這個數就是a在mod p下的逆元了

測試代碼

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define ll long longll quick_pow(ll x, ll n, ll mod) {ll res = 1;while (n > 0){if (n % 2 == 1){res *= x % mod;}x *= x % mod;n >>= 1; }return res; }int main(void) {ll a, p;ll x = quick_pow(a, p - 2, p);x = (x % p + p) % p; //x為a在mod p意義下的逆元printf("%lld\n", x); return 0; }

2.拓展歐幾里得

時間復雜度：O(log n)
這個方法十分容易理解，而且對于單個查找效率似乎也還不錯，比大部分方法都要快(尤其對于 mod p 比較大的時候)。
這個就是利用拓歐求解 線性同余方程 a ? x = c (mod b) 的c = 1的情況。我們就可以轉化為解 a ? x + b ? y = 1 這個方程。求解這個方程的解。不會拓歐可以點這里~
好處：當 a⊥p （互質），但 p 不是質數的時候也可以使用。

測試代碼

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define ll long long void Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (!b)x = 1, y = 0;elseExgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x; }int main(void) {ll x, y;ll a, p;scanf("%lld%lld", &a, &p);Exgcd (a, p, x, y);x = (x % p + p) % p; // x為a在mod p意義下的逆元printf("%lld\n", x);return 0;}

3.線性算法

用于求一連串數字對于一個 mod p 的逆元
并且大多數題只能用這種方法，別的算法都比這些要求一串要慢。

首先我們有一個,1^(?1) = 1 (mod p)
然后設 p = k ? i + r, (1 < r < i < p) 也就是 k 是 p/i 的商，r 是余數 。
再將這個式子放到(mod p)意義下就會得到：
k ? i + r = 0(mod p)
然后乘上i ^ (-1), r ^ (?1)就可以得到:
k ? r ? 1 + i ? 1 = 0(mod p)
i ^ (-1) = (?k) ? r ? 1 (mod p)
i ^ (-1) = ? ?p / i? ? (p mod i) ^ (-1) (mod p)
然后，我們就可以從前面推出當前的逆元了。

例題

洛谷P3811

AC代碼

#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; #define ll long long const int MX = 3e6 + 5; ll inv[MX] = {0}; // 不用ll會溢出 int main(void) {int n, p;scanf("%d%d", &n, &p);inv[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++ i){inv[i] = (p - p/ i) * inv[p % i] % p; } for (int i = 1; i <= n; ++ i){if(i != 1){printf("\n");}printf("%d", inv[i]);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元的三种求解方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。