乘法逆元計算

乘法逆元（模運算和環的概念不在此介紹）：

乘法中存在中性元素1，即對每個 a ∈ Z(m)，都有 a * 1 ≡ a mod m。
不是所有元素都存在乘法逆元。假設 a ∈ Z，乘法逆元 a^(-1) 可以定義為：
a * a^(-1) ≡ 1 mod m
如果元素 a 的乘法逆元存在，則可以除以這個元素，因為 b / a ≡ b * a(-1) mod m。
當且僅當 gcd（a， m）= 1，一個元素的 a ∈ Z 存在乘法逆元 a^(-1)。其中 gcd 表示最大公約數；如果 gcd（a， m）= 1，那么 a 和 m 就互質或互素。

乘法逆元的一大應用是模意義下的除法，除法在模意義下并不是封閉的，但我們可以根據上述公式，將其轉化為乘法。

常見的乘法逆元計算方法：

1.費馬小定理
2.擴展歐幾里得
3.遞推法

實現乘法逆元的計算，大多需要借助計算機程序；
在此只介紹數比較小時的筆算方法。

思路就是：

a 模 b 的乘法逆元 推導為 1 = ax - by 或者 1 = by - ax
a的乘法逆元a(-1) = x 或 a(-1) = b - x

11模26的乘法逆元：
26 = 11 * 2 + 4；11 = 4 * 2 + 3；4 = 3 + 1
1 = 4 - 3
1 = (26 - 11*2) - (11 - 4*2)
1 = (26 - 11*2) - (11 - (26 - 11*2)*2)
1 = 26*3 - 11*7
所以11模26的乘法逆元為26 - 7 = 19 。

21模26的乘法逆元：
26 = 21 + 5；21 = 5 * 4 + 1
1 = 21 - 5*4
1 = 21 - (26 - 21)*4
1 = 21*5 - 26*4
所以21模26的乘法逆元為 5 。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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