參考自

簡單移動平均(Simple moving average)

數據$p_1,p_2,...,p_M$的窗口為n的簡單移動平均：
$${\overline{p}}_{SM}=\frac{p_M+p_{M?1}+...+p_{M?(n?1)}}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n?1}{p}_{M?i}$$

迭代的形式：
$${\overline{p}}_{SM}={\overline{p}}_{SM,prev}+\frac{p_M}{n}?\frac{p_{M?N}}{n}$$

實現

簡單實現

import pandas as pd s = [1,2,3,5,6,10,12,14,12,30] # 等價于data = pd.DataFrame(s) data = pd.Series(s) # 窗口為3的簡單移動平均 smv_3=data.rolling(window=3).mean()print('時間序列數據:') print(data) print('\n窗口為3的簡單移動平均:') print(smv_3)

結果：

時間序列數據: 0 1 1 2 2 3 3 5 4 6 5 10 6 12 7 14 8 12 9 30 dtype: int64窗口為3的簡單移動平均: 0 NaN 1 NaN 2 2.000000 3 3.333333 4 4.666667 5 7.000000 6 9.333333 7 12.000000 8 12.666667 9 18.666667 dtype: float64

平均結果的NaN和數據中的NaN怎么辦？

min_periods字段

平均結果的NaN

import pandas as pd s = [1,2,3,5,6,10,12,14,12,30] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # 窗口為3的簡單移動平均，min_periods指的是如ugo沒有3個數，有2個數都可以做簡單移動平均 smv_3=data.rolling(window=3, min_periods=2).mean()print('時間序列數據:') print(data) print('\n窗口為3的簡單移動平均:') print(smv_3)

結果：

時間序列數據: 0 1 1 2 2 3 3 5 4 6 5 10 6 12 7 14 8 12 9 30 dtype: int64窗口為3的簡單移動平均: 0 NaN 1 1.500000 2 2.000000 3 3.333333 4 4.666667 5 7.000000 6 9.333333 7 12.000000 8 12.666667 9 18.666667 dtype: float64

數據中的NaN

import pandas as pd # 第三個數據是NaN s = [1,2,None,5,6,10,12,14,12,30] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # 窗口為3的簡單移動平均 smv_3=data.rolling(window=3, min_periods=2).mean()print('時間序列數據:') print(data) print('\n窗口為3的簡單移動平均:') print(smv_3)

結果：

時間序列數據: 0 1.0 1 2.0 2 NaN 3 5.0 4 6.0 5 10.0 6 12.0 7 14.0 8 12.0 9 30.0 dtype: float64窗口為3的簡單移動平均: 0 NaN 1 1.500000 2 1.500000 3 3.500000 4 5.500000 5 7.000000 6 9.333333 7 12.000000 8 12.666667 9 18.666667 dtype: float64

指數移動平均（Exponential moving average）

數據$p_1,p_2,...,p_M$的指數移動平均的迭代形式：
$${\overline{p}}_{EM}=\{\begin{array}{rcl}{p}_1& & M=1\\ \alpha p_M+(1?\alpha ){\overline{p}}_{SM,prev}& & M?=1\end{array}$$

如何理解指數移動平均

把指數移動的公式展開：
$${\overline{p}}_{EM}=\alpha (p_M+(1?\alpha )p_{M?1}+(1?\alpha {)}^2{p}_{M?2}+...+(1?\alpha {)}^{M?1}{p}_1)$$

當$M>>1$時，他其實就是一個歷史數據的指數加權平均：
$${\overline{p}}_{EM}=\sum _{i=0}^{+\infty }\alpha (1?\alpha {)}^i{p}_{M?i}$$

時間 T ：近->遠 值 ： p_M->P_1 權重 ： w_0->w_{M-1}

我們可以發現權重$p_{M?i}$對應的權重$w_i=\alpha (1?\alpha {)}^i$，我們計算所有權重之和看是否為1：${\sum }_{i=0}^{\infty }{w}_i=\alpha (1+(1?\alpha )+(1?\alpha {)}^2+...)=\alpha \frac{1}{1?(1?\alpha )}=1$。

因此，我們用迭代的方式計算指數移動平均相當于把權$w_i=\alpha (1?\alpha {)}^i$賦給過去的值。

而下面考察權重的變化，如果$\alpha$足夠小，則
$$w_{1/\alpha }=\alpha (1?\alpha {)}^{1/\alpha }=\alpha \frac{1}{e}=36.8\%\alpha$$

指數移動平均與簡單移動平均的關系

可以通過指數移動平均與簡單移動平均的關系來知道$\alpha$的選取。

注：下面質心的推導的坐標系是這樣的：

0------>1------>2------>...p_M p_{M_1}

選取$\alpha$的方法 × 兩者的質心相同

簡單移動平均的質心為$\frac{1+N}{2}$
指數移動平均的質心為$\alpha [1+2(1?\alpha )+3(1?\alpha {)}^2+...]=\frac{1}{\alpha }$

令二者的質心相同，則$\frac{1+N}{2}=\frac{1}{\alpha }$，即$\alpha =\frac{2}{N+1}$。當我想我的指數移動平均的歷史加權的質心和N窗口簡單移動平均質心是一樣的。

選取$\alpha$的方法 × 指定指數移動平均的質心

令質心為c，則$c=\frac{1}{\alpha }$，即$\alpha =\frac{1}{c}$。

例子，我令最新的數據為質心，則c=1，此時$\alpha =\frac{1}{1}=1$;

注意如果質心選擇的原點不一定會有影響

p_M對應坐標1是我們之前的推導方式

0------>1------>2------>...p_M p_{M_1}

我們現在變為p_M對應坐標0

0------>1------>2------>... p_M p_{M_1}

例子，我令最新的數據為質心，則$c^{\prime }=0$，此時有$c=c^{\prime }+1$,則$\alpha =\frac{1}{c}=\frac{1}{c^{\prime }+1}=1$。

選取$\alpha$的方法 × 最近的N個數所累計的權重和

拖尾的權重{$w_N,w_{N+1},...$}之和:
$$w_{n,...}=\alpha ((1?\alpha {)}^N+(1?\alpha {)}^{N+1},...)=a(1?\alpha {)}^N(1+(1?\alpha )+...)=(1?\alpha {)}^N$$

最近的N個數所累計的權重和:
$$w_{0,..,n?1}=1?w_{n,...}=1?(1?\alpha {)}^N$$

• 如何選取$\alpha$，我們可以說讓最近N個數所累計的權重和為剛剛$\frac{1}{2}$，此時$\frac{1}{2}=1?(1?\alpha {)}^N$，所以$\alpha =1?e^{\ln (0.5)/N}$。

• 當$\alpha$足夠小時,$$w_{0,..,n?1}=1?(1?\alpha {)}^N=1?((1?\alpha {)}^{1/?\alpha }{)}^{?\alpha N}=1?e^{?\alpha N}$$

• 取$\alpha$（足夠小），則意味著$\frac{1}{\alpha }$個最近的數據包含了約$1?e^{?1}=63.2\%$的權重

偏差修正

偏差修正的主要目的是為了提高指數加權平均的精確度，主要是針對前期的加權平均值的計算精度。

下面的例子中$\alpha =0.1;\beta =1?\alpha =0.9$。觀察到的序列為{40, 50}，而的計算的指數平均為{4, 7.1}，這樣的結果精度是很差的。

下面我們進行修正偏差，得到修正指數平均$v_t^{\prime }$：
$$v_t^{\prime }=\frac{v_t}{1?{\beta }^t}$$

因此，

原序列：{40, 50} 指數平均序列：{4, 7.1} 修正偏差后的指數平均序列：{40, 37.37}

實現

Series.ewm(com=None, span=None, halflife=None, alpha=None, min_periods=0, adjust=True, ignore_na=False, axis=0)

$\alpha$選擇參數

span, com, halflife分別對應前面所說的選擇方法

com : float. optional (注意，這里的com，第一個元素是對應0的) Center of mass: \alpha = 1 / (1 + com),span : float, optional Specify decay in terms of span, \alpha = 2 / (span + 1)halflife : float, optional Specify decay in terms of halflife, \alpha = 1 - exp(log(0.5) / halflife)

基本實現

# adjust=True的情況 import pandas as pd s = [40, 50] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # span=19對應a=0.1 emv=data.ewm(span=19).mean() ans_1=0.1*50+0.9*40 print('時間序列數據:') print(data) print('\na=0.1指數移動平均:') print(emv) print('ans of time 1:', ans_1) 時間序列數據: 0 40 1 50 dtype: int64a=0.1指數移動平均: 0 40.000000 1 45.263158 dtype: float64 ans of time 1: 41.0

我們發現計算結果，跟我們推到的結果ans_1不一致。原因在于，我們之前關于移動評價的公式是假設權重之和為1,但這只有是無窮級數求和的結果。

• 真正的公式(即adjust=True)應該是
  $$y_t=\frac{x_t+(1?\alpha )x_{t?1}+(1?\alpha {)}^2{x}_{t?2}+...+(1?\alpha {)}^t{x}_0}{1+(1?\alpha )+(1?\alpha {)}^2+...+(1?\alpha {)}^t}$$
• 快速迭代的公式(即adjust=False)應該是
  $$\begin{gathered} y_0=x_0, \\ {y}_t=(1?\alpha )y_{t?1}+\alpha x_t \end{gathered}$$
• 只有在t足夠大時，adjust=False的結果才會接近adjust=True的結果，而adjust=False計算得快，但有一定精度損失

import pandas as pd s = [40, 50] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # span=19對應a=0.1 emv=data.ewm(span=19, adjust=False).mean() ans_1=0.1*50+0.9*40 print('時間序列數據:') print(data) print('\na=0.1指數移動平均:') print(emv) print('ans of time 1:', ans_1)

結果：

時間序列數據: 0 40 1 50 dtype: int64a=0.1指數移動平均: 0 40.0 1 41.0 dtype: float64 ans of time 1: 41.0

數據中有NaN怎么辦？

參考前面的公式

• When ignore_na is False (default), weights are based on absolute positions. For example, the weights of x and y used in calculating the final weighted average of [x, None, y] are (1-alpha)**2 and 1 (if adjust is True), and (1-alpha)**2 and alpha (if adjust is False).

• When ignore_na is True (reproducing pre-0.15.0 behavior), weights are based on relative positions. For example, the weights of x and y used in calculating the final weighted average of [x, None, y] are 1-alpha and 1 (if adjust is True), and 1-alpha and alpha (if adjust is False).

個人認為，四種搭配中這兩種是比較合理的：

1. ignore_na=True, adjust=False 2. ignore_na=False, adjust=True

下面的例子都考慮adjust=False的情況

# ignore_na=True，忽略NaN import pandas as pd s = [40, None, None, 50, None] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # span=19對應a=0.1 emv=data.ewm(span=19, adjust=False, ignore_na=True).mean() ans_1=0.1*50+0.9*40 print('時間序列數據:') print(data) print('\na=0.1指數移動平均:') print(emv) print('ans of time 4:', ans_1)

結果：

時間序列數據: 0 40.0 1 NaN 2 NaN 3 50.0 4 NaN dtype: float64a=0.1指數移動平均: 0 40.0 1 40.0 2 40.0 3 41.0 4 41.0 dtype: float64 ans of time 4: 41.0 # ignore_na=False，不忽略NaN import pandas as pd s = [40, None, None, 50, None] data = pd.Series(s) # data = pd.DataFrame(s) # span=19對應a=0.1 emv=data.ewm(span=19, adjust=False, ignore_na=False).mean() ans_1=(0.1*50+(0.9**3)*40)/(0.1+0.9**3) print('時間序列數據:') print(data) print('\na=0.1指數移動平均:') print(emv) print('ans of time 4:', ans_1)

結果:

時間序列數據: 0 40.0 1 NaN 2 NaN 3 50.0 4 NaN dtype: float64a=0.1指數移動平均: 0 40.000000 1 40.000000 2 40.000000 3 41.206273 4 41.206273 dtype: float64 ans of time 4: 41.20627261761158

二元移動窗口函數

一些統計計算符，比如相關性和協方差，需要在兩個時間序列上進行計算。例如，經濟分析通常喜歡比較一只股票與基礎指數標普500之間的相關性。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的简单移动平均 指数移动平均的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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