EMA 基本概念見 Wikipedia，本文不贅述。

基本公式

S[0] = Y[0]
S[i] = Y[i] * alpha + S[i-1] * (1 - alpha)

其中 alpha 為平滑因子，數值越小曲線越平滑

要點

初始值 S1 會引入誤差，為了消除誤差有幾種常見策略：

• 取前 N 個值的均值作為 S1
• 迭代的前 N 次使用動態平滑因子 alpha，從 1 逐漸變為設定值。
• 系統空轉 N 次（ ‘spin-up’ interval）之后再對外提供服務

如何選擇 alpha？

• 這是應用決定的，并沒有固定的規則。
• 一種選擇alpha 的思路是使得均方差最小，數據最平滑。
• 你也可以有自己的策略（思考：你真的需要特別平滑嗎？）

一種自適應的計算 alpha 的方法

S[i] 可以寫作：

S[n] = w[n] * Y[n] + w[n-1] * Y[n-1] + w[n-2] * Y[n-2] + … w[1] * Y[1] + w[0] * Y[0]

Y 值是隨機序列，我們無法預知。每個 Y 的權重 w 和 alpha 相關，是可以預先計算出來的。什么意思呢？分述如下：

我們沒有辦法控制 Y[i] 在 S[n] 中的占比，因為 Y[i] 是一個輸入序列，我們無法預先知道它的值。舉個例子

設

Y[0] = Y[1] = … = Y[n - k - 1] = 1;
Y[n - k] = Y[n - k + 1] = … = Y [n - 1] = Y[n] = 0

有：

S[n] = w[n - k - 1] * Y[n - k - 1] + … w[1] * Y[1] + w[0] * Y[0]

可知無論 w （w > 0 ）為多少，Y[0], Y[1], … , Y[n - k - 1] 在 S[n] 中占比 100%。

但是，我們可以控制 最后 k 個值的權重在總權重里的占比。>>參考文檔<<

最后k個權重之外的權重和 / 總權重
= (w[n-k] + w[n-k-1] + w[n-k-2] + …. ) / 1
= a * ( 1 - a)^k + a * (1 - a)^(k+1) + ….
= a * (1-a) ^k * [ 1 + (1-a) + (1-a)^2 + …..]
= (1-a)^k

第四步到第五步，數學不太好的同學注意：當 1 > a > 0, n->無窮時，
a * [ 1 + (1-a) + (1-a)^2 + …..] = 1

如果我們希望最近 k 步之前的權重占比為 10%，最近 k 步權重占比 90%，根據上面的公式有：

0.1 = (1 - a) ^k
則有： a = 1 - e^(ln0.1 / k)

再看一個最近 k 步之前的權重值為一個特殊值的例子： e^-1。

我們希望最近 k 步之前的權重占比為 e^-1 = 0.3678，最近 k 步權重占比 1- e ^ -1 = 0.6321，根據上面的公式有：

e ^ -1 = (1 - a) ^k
則有： a = 1 - e^(-1 / k)

k-alpha 對照表：

ka

1	0.6321
2	0.3934
3	0.2834
4	0.2212
5	0.1813
10	0.095
20	0.049
30	0.033
40	0.025
50	0.020
100	0.010
200	0.005

設采樣周期為 interval，采樣窗口為 window，那么窗口內共采樣 window / interval 次。

設 k = window / interval。
則有 a = 1 - e ^ ( -1 / (window / interval)) = 1 - e ^ (- interval / window)

在這種情況下，最近 2k 步權重占比為多少呢？

1 - 忽略的權重 / 總權重 = 1 - (1-a)^2k = 1 - e ^ -2 = 1 - 0.1353 = 0.8647

對照表：

stepweight

k	0.6321
2k	0.8647
3k	0.9502
4k	0.9816

從應用的角度看，這意味著什么呢？

假設我們的 window 是 1 天，那么最近一天的權重占比 63%，最近 2 天的權重占比 86%，三天 95%，四天 98%，等等。這意味著四天之外的權重影響力只占到 2%。還啰嗦一句，這里是“權重影響力”，并不是”數據影響力“，w 和 Y 是兩碼事。如果 四天之外的數據特別大或者特別小，對當前計算出來的值影響還是會很大的。

最后附幾個例子。

圖中，每個格子是 100 * 100， 紅色部分為 EMA曲線。

數據特征永久變化，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

連續數日數據特征變化，后恢復，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

某日數據突變，后恢復，interval = 100，window = 100，alpha = 0.2834

EMA 幾乎跟隨數據變化，interval = 1，window = 1，alpha = 0.033

在線感受一下EMA曲線和參數之間的關系吧：http://reactshare.cn/ema

總結

以上是生活随笔為你收集整理的EMA - 指数移动平均的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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