文章目錄

• 乘法逆元及四大相關求法詳解（含證明）
• • 開胃菜
• 1. 定義及理解
• • 1.1 乘法逆元的定義
  • • 1.1.1 極簡定義
    • 1.1.2 詳細定義
    • 1.1.3 理解及其相關證明<br>
• 2. 逆元的四大求解法
• • 2.1 費馬小定理求逆元
  • • 2.1.1 何為費馬小定理
    • 2.1.2 證明費馬小定理
    • 2.1.3 代碼板子
  • 2.2 擴展歐幾里得求逆元
  • • 2.2.1 何為歐幾里得算法
    • 2.2.2 證明歐幾里得算法
    • 2.2.3 擴展歐幾里得算法
    • 2.2.4 推導擴展歐幾里得算法
    • 2.2.5 代碼板子
  • 2.3 線性遞推求逆元
  • • 2.3.1 何為線性遞推
    • 2.3.2 推導線性遞推
    • 2.3.3 代碼板子
  • 2.4 歐拉定理求逆元
  • • 2.4.1 何為歐拉定理
    • 2.4.2 證明歐拉定理
    • 2.4.3 推導歐拉函數
    • 2.4.4 代碼板子
• 3. 階乘逆元

乘法逆元及四大相關求法詳解（含證明）

知識的補缺是老生常談的一大問題，隨著自身學習進程的推進，越發覺著逆元知識的重要，故此我站在網上各路大牛的肩膀上，對此知識進行一定程度上的系統梳理。如有不足之處，還請大家指出，大家共同進步，互利共贏 ！！

開胃菜

先呈上菜：

很明顯，上述式子只有一條不成立，即 ( a / b ) % m，但有些情況下，又需要進行有模運算的除法。由于式子不成立，當 a 過大或者 b 過大時，極易導致計算過程丟失精度，造成結果誤差。因此，為了避免這一遭，逆元就應運而生了。

1. 定義及理解

1.1 乘法逆元的定義

1.1.1 極簡定義

? 在 模m 有意義的條件下， 若 ax ≡ 1 ( mod m ）, 則稱 a 關于 1 模 m的乘法逆元為 x

1.1.2 詳細定義

? 若整數 a，m 互質，并且對于任意的整數 b，如果滿足 a | b ( a 能整除 b )，則存在一個整數 x，使得 b/a ≡ bx ( mod m ) ，則稱 x 為 a 模 m 的乘法逆元，記為 $a^{?1}$( mod m ) 或者 inv（ a )。

1.1.3 理解及其相關證明

根據定義：模 m 意義下， a 如果有逆元 x，那么除以 a 相當于乘以 x

b / x1 = b * x1^-1 // 即 b / a = b * a^-1 ,基礎乘除轉換 inv[x1] ≡ x1^-1 ( mod m) // inv[x1] 即為 x1 在模 m 情況下的逆元 b / x1 ≡ b * inv[x1] ( mod m ) // 結論

b / x1 ≡ b * inv[x1] ( mod m ) 等式成立證明：（ inv[ x1 ] = x , 即 x1 的逆元為 x）

假設： b1 / x1 mod m = n (式子一) (式子一兩邊同時乘上 x1)b1 mod m = n * x1 mod m (式子二) (簡化式子二)b1 ≡ n * x1 ( mod m ) (式子三) (式子三兩邊同時乘上 x, x 為 1 / x1, 即假設 x 為 x1 的逆元) (根據定義式) x * x1 ≡ 1 ( mod m ) (式子四 ，因為 x 是 x1 的逆元，所以得出這個式子)b1 * x ≡ n * x1 * x ( mod m ) (式子三等式兩邊乘以 x -> 式子五) (式子四帶入式子五，有)b1 * x ≡ n * 1 ( mod m ) (式子六) (式子六化簡)b1 * x ≡ n ( mod m ) (式子七) (與式子七變形)b1 * x mod m = n mod m (式子七) (式子一帶入式子七)b1 * x mod m = b1 / x1 mod m mod m (式子八) (等式右邊模了一次 m 之后，值肯定比 m 小，因此第二次模 m 無意義，式子八簡化)b1 * x mod m = b1 / x1 mod m (結論) (x 是 x1 的逆元，式子三定義的) (證畢)

$注意$

① 當且僅當 a 與 m 互質時，a 關于 1 模 m 的 乘法逆元 有解。特別地，當模數 m 為質數時，$a^{m?2}$ 即為 a 的乘法逆元。若不互質，則無解。

② 若 m 為素數，則從 1 到 m-1 的任意數都與 m 互質，即在 1 到 m-1 之間都恰好有一個關于 1 模 m 的乘法逆元。

$Q:$ 為什么當 a 與 m 互質時，a 關于 1 模 m 的 乘法逆元 才有解 ???

首先介紹一下 裴蜀定理：

$裴蜀定理$
① 若 a, b 是整數,且 gcd(a , b) = d，那么對于任意的整數 x , y。ax+by 都一定是 d 的倍數，特別地，一定存在整數x,y，使 ax+by = d成立。

② 推論：a ，b 互質的充分必要條件是存在整數 x ， y 使得 ax+by = 1 。

我們可以知道

? a ? x ≡ 1（ mod m）

? a ? x= 1?my

? ax + my= 1 $（1）$

裴蜀定理告訴我們，方程（1）當且僅當 gcd( a ，m) = 1時有解。也就是說，當且僅當 a 與 模數m 互質時，存在 a 的乘法逆元。因此 大部分 有理數取模問題給定的模數都是質數，這樣能夠在 a mod m ≠ 0 的情況下保證存在 a 的逆元。

$Q:$ 為什么當模數 m 為質數時，$a^{m?2}$ 即為 a 的乘法逆元 ???

由費馬小定理可知：

當 m為質數時，$a^{m?1}$ ≡ 1 ( mod m )

? ? a * $a^{m?2}$ ≡ 1 ( mod m )

則由逆元定義可知，此時 $a^{m?2}$為 a 的乘法逆元

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2. 逆元的四大求解法

2.1 費馬小定理求逆元

2.1.1 何為費馬小定理

費馬小定理是數論中一個定理：

假如 a 是 一個整數，m 是一個質數，那么

? $a^m$ ≡ a ( mod m )

如果 m 是一個質數，而整數 a 不是 m 的倍數，那么

? $a^{m?1}$ ≡ 1 ( mod m )

2.1.2 證明費馬小定理

下面的證明，使用模運算，最初是由 James Ivory 在1806年發現的，后來被 Dirichlet 在1828年重新發現。

我們首先考慮整數a，2a，3a，…（ p - 1 )a。這些數都不等于p對其他數的模，也不等于0。

如果這樣，那么有：r × a ≡ s × a （ mod p ），1 ≤ r < s ≤ p - 1，那么，兩邊消去a將得到

r ≡ s ( mod p )，這是不可能的，因為 r 和 s 都在 1 和 p - 1 之間。

因此，前一組整數必須同余模 p 到1，2，…p - 1。

把這些同余相乘，你會發現：a × 2a × 3a × … × (p - 1) × a ≡ 1 × 2 × 3 × … × (p - 1) ( mod p)意味著a × （p - 1）! ≡ （p - 1）!（mod p）。

從這個表達式的兩邊消去（p - 1）!，我們便得到：$a^{p?1}$ ≡ 1 ( mod p )。

2.1.3 代碼板子

首先翻出我們之前準備好的結論：b / x1 mod m = b * x mod m (x 是 x1 在模 m 下的逆元) (式子一) 逆元定義：x1 * x ≡ 1 ( mod m ) (式子二) 我們把費馬小定理的結論帶入式子二,有x1 * x = x1^(p-1) (式子三) 故此x = x1^(p-2) (結論) ( 即 x1的 逆元 x 為 x1^(p-2) ) /* 快速冪· 求 a^k % m */ /* 求逆元 即為 quick_power( a , m-2 , m ) */int quick_power(int a,int k,int m) {int res=1;while(k){if(k&1) res= res*a % m;a= a*a % m;k>>=1;}return res; }

$費馬小定理局限性$

必須滿足 m 要為質數 的前提條件 ，才可求逆元

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2.2 擴展歐幾里得求逆元

2.2.1 何為歐幾里得算法

歐幾里得算法又稱輾轉相除法，是指用于計算兩個非負整數a，b的最大公約數。

公式 ：gcd( a，b ) = gcd( b，a mod b )

2.2.2 證明歐幾里得算法

2.2.3 擴展歐幾里得算法

由名字可知這是建立在歐幾里得算法上的一種算法，定義如下：

? 給一個線性方程 ax + by = m，給出 a，b，m 求解出相應的 x 和 y 。

$注意$

首先，只有 m % gcd( a，b) ==0 ，即 當且僅當 m 是 a，b 最大公約數的倍數時，該線性方程才有解。

當 m 為1 時，由裴蜀定理推論可知，只有當 a，b互質才有解。

2.2.4 推導擴展歐幾里得算法

證：存在整數對( x，y )使得 ax + by = gcd( a，b )

證明：設 a > b 當 b = 0 時，a?1+b?0 = gcd( a，b ) = a，此時 x=1，y=0 當 b !=0 時， 設 a?x1 + b?y1 = gcd( a，b ) b?x2 + a%b?y2 = gcd( b，a%b ) 又由于gcd(a,b)=gcd( b，a%b )所以有 a?x1 + b?y1=b?x2 + a%b?y2 又因為 a%b = a ? ( a / b )?b ， 得到 a?x1 + b?y1=a?y2 + b?x2 ? ( a / b )?b?y2 ? 即 x1=y2 ? y1=x2 ? (a/b)?y2

因此可以遞歸的定義exgcd，同樣b=0時遞歸結束。返回最大公約數。

2.2.5 代碼板子

int exgcd( int a , int b , int &x , int &y ) {if( !b ) // 當 b =0 時{x=1,y=0;return a; }// 當 b！=0 時int d=exgcd( b, a%b, x, y );int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;return d; }

怎么用拓展歐幾里得求逆元呢？

把 ax ≡ 1（ mod m）稱為 a 關于 1 mod m 的乘法逆元。 它的解其實就相當于尋找方程 ax+my=1 的解。根據乘法逆元的性質，只有當 a 與 m 互質，a 關于模 m 的乘法逆元才有解。如果不互質，則無解。那么這個方程就是 a,m 互質的充要條件是方程 ax+my = 1 必有整數解。

$注意$

我們知道了線性方程 ax + by = m 有整數解的條件，并且根據上述算法，也能求出一組方程的解。但是 這組解很可能包含負數，當我們求逆元時需將其轉化為正數，如下

/* 求逆元 a , m */ int Inv_a(int a,int m) {int x,int y;int d=exgcd(a,m,x,y);if(d==1){return ( x%m + m )%m; // 保證逆元為正數}elsereturn -1; // ax+my=1 不成立，即 a ，m 不互質，無解}

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2.3 線性遞推求逆元

2.3.1 何為線性遞推

exgcd和費馬小定理只適合用來求單個逆元，求3e6以內所有的逆元在肯定會超時，此時用線性遞推求逆元可以保證時間復雜度在O( n )內

2.3.2 推導線性遞推

設 t = m / i，k = m % i，有：m = i * t + k 即 i * t + k Ξ 0 ( mod m ) 即 k Ξ - i * t ( mod m ) 兩邊同時除以 i * k 有 1 / i Ξ - t / k ( mod m ) 將k，t帶入 有 inv[ i ] Ξ - m / i * inv[ m % i ] ( mod m ) 為防止有負數，有inv[ i ] = ( m - m / i) * inv[ m % i ]) % m

核心：inv[ i ] = ( m - m / i ) * inv[ m % i ] % m

2.3.3 代碼板子

long long inv[N];void get_inv( long long m ) {inv[1]=1;for(int i=2;i<=m-1;i++)inv[i]=( m-m/i )*inv[ m%i ]%m; }

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2.4 歐拉定理求逆元

2.4.1 何為歐拉定理

若a、m互質，則有 $a^{\phi (m)}$ ≡ 1 ( mod m ) ，φ( m)稱為歐拉函數，表示1~m中與 m互質的個數

2.4.2 證明歐拉定理

歐拉定理證明

把不超過𝑚且與𝑚互質的正整數拿出來構成集合{ $x_1,x_2,\dots ,x_{\phi (m)}$}

設𝑎與𝑚互質且xi也與m互質，則( $a_{xi}$，m )=(m，$a_{xi}$%m) =1

集合{ $a{x}_1,a{x}_2,\dots ,a{x}_{\phi (m)}$}在模𝑚意義下與前一集合相等 ( 都是與m互質的集合 ）（均為模m意義下模𝑚意義下的縮系）

將集合內所有原數相乘，得到
$a{x}_1,a{x}_2,\dots ,a{x}_{\phi (m)}$ ≡ $a^{\phi (m)}{\prod }_i^{?(m)}xi\equiv {\prod }_i^{?(m)}xi$ ( mod m )
因為 xi 與 m 互質，則都有逆元

對上個式子的右邊2個式子每個 xi 都乘上逆元
則 $a^{\phi (m)}$ ≡ 1 ( mod m )

證畢

2.4.3 推導歐拉函數

$歐拉函數$

?( m ) 為正整數 m 與1，2，???，m?1，m互質的個數

設 m = $p^{a1}{p}^{a2}????p^{ak}$

則 ?( m ) = $(p_1?1)p_1^{a1?1}\times (p_2?1)p_2^{a2?2}???\times (p_k?1)p_k^{ak?1}$

取自[逆元、歐拉定理 - I_N_V - 博客園 (cnblogs.com)]

2.4.4 代碼板子

int phi(int x) {int ans=x;for( int i=2 ; i*i<=x ; i++ )// 時間復雜度：O ( √n )if(x%i==0){ans = ans/i*(i-1); // 由 Φ（m）=m(1- 1 / pi)..得出 while(x%i==0) x/=i;// 除干凈質因子}if(x>1)ans=ans/x*(x-1);// m有一個大于√m 的質數return ans; }

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3. 階乘逆元

顧名思義，就是階層的逆元，即分母，既然這篇文章主要是以逆元為主題，那么順道提一下，希望有助于排列組合的計算，上板子！！

// 階乘逆元 typedef long long LL; const int N=1e6+5; LL fac[N]; //階乘 LL inv[N]; //逆元 // 求階乘 void get_fac() {fac[0] = inv[0] = 1;for (int i = 1 ; i <= 1000000 ; i++){fac[i] = fac[i-1] * i % m;inv[i] = quick_power(fac[i],m-2,m); //表示i的階乘的逆元 } }// 求組合數 inline LL get_C( LL a, LL b ) // C(a,b) = a!/((a-b)!*b!) % mod {return fac[a] * inv[a-b] % m * inv[b] % m; }

以上內容尚未完全，隨著今后學習的推進，我會繼續對其進行補充與完善。另外，大家如果覺得我寫的還行的話，還請贈予我一個可愛的贊，你的贊對于我是莫大的支持。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元（inverse element）及四大相关求法详解（含证明）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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