轉自：https://www.bilibili.com/video/BV12E411c7QH

≡

一，引入

(a+b)%p = (a%p + b%p) %p

(a - b) %p = ( a%p + b%p) %p

(a * b) %p = ( a%p * b%p) %p

(a / b) %p = ( a%p / b%p) %p

上式中，第四個是不成立的，即除法不存在逆元。這就讓計算?(a / b) %p 變的十分復雜，

因為：

① 分配律的好處：可以在大數運算時候先取余讓數變小，在進行加減乘運算

② 除法的弊端 ：除法會掉精度

于是就有人想出乘法的逆元來解決這個問題。

二，乘法逆元

1，定義：若在 mod p 的情況下，對于一個整數 a，有 a*x?≡ 1 (mod p)，那么這個整數 x 即為 a 的乘法逆元，同時 a 也為 x 的乘法逆元 ? ( ?≡ 表示 同余；(mod p) 表示? 該式子在兩邊都 mod p 的情況下成立)

2，充要條件：a 存在 mod p 的乘法逆元的充要條件是 gcd ( a , p ) = 1，即 a 與 p 互質。

3，應用：求取?(a / b) %p。該值 等同與 a*(b 的逆元) % p

4，證明：( a/b ) % p = a*(b 的逆元) % p

設 b 的逆元 為 x，則? b*x ≡ 1 ( mod p )，可以把 x 認為是? b 在數論上的倒數

式子 ① ：(a / b) %p = m，即(a / b)≡? m (mod p)

將 ① * b * x 得：? ?a * x %p = m * b * x %p，

因為：b*x ≡ 1 ( mod p )

所以有：a * x??≡ m ( mod p )

所以有：a * x??≡ m ≡?a / b? ( mod p )

5，費馬小定理

可以用來求 b 的逆元：

費馬小定理：假如 a 是一個整數， p 是一個質數(在競賽通常 p 為 質數，因為 p 不為質數時容易找到余數的規律)，那么

1，如果 a 是 p 的倍數，a^p?≡ a (mod p)

2，如果 a 不是 p 的倍數，a^(p-1)?≡ 1 (mod p)

同余式：a?≡ b (mod n) 表示 a，b 都模 n 后的值相等

因為 乘法逆元必須滿足，a p 互質，所以只需要考慮第二種情況。

由 2 可得：a * a^(p-2)?≡ 1 ( mod p )

所以 a%p * (a^(p-2) % p) = 1 %p

即?a^(p-2) % p 為 a 的逆元，其中 p-2 次方可用快速冪求解。

6，總結：

( a/b ) % p = a*(a^(p-2) % p) % p

=========== ========== ========= ========= ======== ====== ==== === == =

水調歌頭 (宋)辛棄疾

我飲不須勸，正怕酒尊空。別離亦復何恨，此別恨匆匆。

頭上貂蟬貴客，花外麒麟高冢，人世竟誰雄。一笑出門去，千里落花風。

孫劉輩，能使我，不為公。余發種種如是，此事付渠儂。

但覺平生湖海，除了醉吟風月，此外百無功。毫發皆帝力，更乞鑒湖東。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元 java_乘法逆元的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。