一，定義

1 逆元：

在群G中，?a∈G，?a′∈G，s.t.aa′=e，其中e為G的單位元。

2 乘法逆元：

p為素數，記a?b=a×bmodp在群(N，?)(N，·)中，?a∈N，?a′∈N，s.t.aa′=e=1?a∈N，?a′∈N，s.t.aa′=e=1。則稱a′是a關于modp的逆元。
為了方便表示，且下面的內容都只涉及到相同的p，我們記a關于modp的逆元為inv[a]。

二， 作用

情況1：

在算法競賽中，經常會遇到求解數據很大，則輸出模 [公式] 的解這類要求。加法、減法、乘法等操作，基于同余理論直接取模即可。但遇到除法時，某步中間結果不一定能完成整除，就無法求解了。
對于（36/3%7）的情況。
第一步，36=18,18%7=4。
第二步，4/3無法整除，但是我們可以求出除數3關于模數7的逆元5，35%7=1符合逆元的定義。
所以我們用5代替/3，即4*5=20，而20%7=6，得到正確答案。

*** 對于一個大數m，在計算m/a%b時，對于a的逆元d可以有m*d%b=m/a%b。對于需要在計算中取模并且有除法的題目中非常好用。 ***

情況2：

當我們要求ab的值時，知道答案的范圍ans≤k，但是a和b太大無法直接計算。這時候我們就要假設出一個質數L>k，然后求abmodL即可。

三， 求法

1.枚舉法

2.快速冪（費馬小定理）

歐拉定理，a^?(p)=1(modp)

∴ap?1≡1(modp)
∴a^p?1≡1(modp)
∴a×a(p?2)≡1(modp)∴a×a^(p?2)≡1(modp)
根據逆元的存在唯一性，inv[a]≡a^p?2(modp)
** 適用：如果n nn是一個質數，而整數a aa不是n nn的倍數**

#include <cstdio> int a,p; int Pow(int i,int j) {if (!j) return 1;int now=Pow(i,j>>1);now=now*now%p;if (j&1) now=now*i%p;return now; } int main(void) {scanf("%d%d",&a,&p);printf("%d\n",Pow(a,p-2));return 0; }

3.擴展歐幾里得算法

aa′≡1(modp) ，我們只用找到ax+py=1(ax=-py+1),而a′≡x。
對于ax+py=1中x，y的找法就是擴展歐幾里得算法。
我們對a,p最大公約數，順便維護x和y的值。
** 適用：存在逆元即可求，適用于個數不多但模數b很大的時候，最常用、安全的求逆元方式。**

#include <cstdio> int a,p; int x,y; void exgcd(int a,int b) {if (!b) {x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b);int _x=x,_y=y;x=_y,y=_y*(a/b)-_x;x%=p,y%=p; } int main(void) {scanf("%d%d",&a,&p);exgcd(a,p);printf("%d\n",(x+p)%p);return 0; }

4.線性遞推求逆元

** 公式： i n v [ i ] = ( p ? p / i ) × i n v [ p % i ] % p , i n v [ 1 ] = 1 **
** 用途：可以 O ( n ) 預處理出 [1,n] 所有數的關于模 p 的乘法逆元 **
**適用范圍：mod數是不大的素數而且多次調用，比如盧卡斯定理。 **

long long inv[N]; int main(){int n,p;cin>>n>>p;inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",inv[i]);return 0; }

4，遞歸求逆元

用途： mod數是素數，所以并不好用，比如中國剩余定理中就不好使，因為很多時候可能會忘記考慮mod數是不是素數。

LL inv(LL i) {if(i==1)return 1;return (mod-mod/i)*inv(mod%i)%mod; }

5，線性求逆元

當用逆元的次數比較多時，一直l o g loglog求可能會T TT，這時線性求出來逆元是個不錯的選擇

void init() {inv[1] = 1;for (int i = 2; i <= N; i ++)inv[i] = mul(dec(mod, mod / i), inv[mod % i]); }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【乘法逆元】取模运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。