目錄

一，模運算的性質

二，除法的模運算？

? ? ? ? 1.除法模運算

? ? ? ? 2.解決除法模運算問題

三，乘法逆元的性質

? ? ? ? ?1，乘法逆元總存在嗎？

? ? ? ? 2.什么時候一定存在乘法逆元

?三，求乘法逆元

? ? ? ? ?1.費馬小定理

? ? ? ? 1.1?C++ 由費馬小定理求乘法逆元（p為質數時）

輸入輸出樣例

????????2.擴展歐幾里得算法

? ? ? ? 2.1 求逆元代碼

? ? ? ? 3.線性求逆元

? ? ? ? 3.1 求逆元

3.乘法逆元應用

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一，模運算的性質

? ? ??1.? (a+b)%p=(a%p+b%p)%p

? ? ? 2.? (a-b)%p=(a%p-b%p)%p

注意：(9-7)%8=(9%8-7%8)%8=-6 ;不是我們要的值，這時要加上p,改為：

? ? ? 3.? (a-b)%p=（ (a%p-b%p) % p + p ）%p

? ? ? 4.? (a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p

二，除法的模運算？

? ? ? ? 1.除法模運算

? ? ? ? (a/b)%p=(a%p)/(b%p) ,如果我們保證可以整除，它是否成立呢？

取a=8,b=2,p=6; 左式=4，右式=1；也就是說?除法的模運算不一定成立。

? ? ? ? 2.解決除法模運算問題

????????能否將除法轉化為乘法？找到 binv ,使得 （a/b）%p==(a*binv)%p?；若能，則稱 binv 為 b在模p意義下?的乘法逆元 ；

三，乘法逆元的性質

? ? ? ? (1) 設 ( a / b )?x ( mod p) ； 即 (a / b ) %p=x % p ;

? ? ? ? (2) 設存在 b?，滿足 a*bx ( mod p)?

? ? ? ? (1)*b :? a??bx ( mod p) ……（3）

????????(2)*b :???a*b?*b ??bx?( mod p ) ……（4）

????????(4)-(3)?:? a*( b?*b -1? )??0 ( mod p ) ……(5)

? ? ? ? 因為我們在找b的乘法逆元，而 a 是任意的數 ，所以為了使 (5) 恒成立，則?( b?*b -1? )0

即?? b?* b 1 （ mod p）; 此時?binv 就是?b在模p意義下?的乘法逆元 ；

? ? ? ? ?1，乘法逆元總存在嗎？

????????對于??b?* b 1 （ mod p），是否總存在 這樣的 b??

????????取 b=2,p=10 則 2 *?b1 （ mod 10） ，即不存在。

? ? ? ? 2.什么時候一定存在乘法逆元

? ? ? ? 若存在乘法逆元，則必滿足??b?* b 1 （ mod p）；

則設?b?* b ?k*p + 1 ……（1）;

設g為b,p的最大公約數，即 g = gcd ( b?, p )?……（2）;

? ? 則 g*?b?* b ?g*k*p + 1 ……（3）；

????????g(?b?* b-k*p)=1……（4） 我們是在整數范圍討論的，所以 （4）式成立當且僅當

????????g=1 &&???b?* b-k*p =1

?結論： 乘法逆元存在當且僅當 b與p互質

?三，求乘法逆元

? ? ? ? ?1.費馬小定理

? ? ? ? （1）……?b?* b 1 （ mod p）

? ? ? ? （2）……費馬小定理：若 p 為質數， 則 a1 ( mod p) ;

由 （2）得： a*a??1 ( mod p) ;

則 結合（1）有??b= b?滿足 (1)式；?

? ? ? ? 1.1?C++ 由費馬小定理求乘法逆元（p為質數時）

#include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; ll fast_pow(ll a, ll b, ll p)//快數冪算法 {ll ans = 1;a %= p;while (b){if (b & 1){ans = (ans * a) % p;}a = (a * a) % p;b >>= 1;}return ans; }ll get_inv(ll x, ll p) {return fast_pow(x, p - 2, p); } int main() {ll x, p;cin >> x >> p;for (int i = 1; i <= x; i++){cout<<get_inv(i, p)<<endl;} }

輸入格式：

一行n,p

輸出格式：

n行,第i行表示i在模p意義下的逆元。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：?

10 13

輸出樣例#1：

1 7 9 10 8 11 2 5 3 4

????????2.擴展歐幾里得算法

（1）擴展歐幾里得算法：求 ax+by=gcd(a,b)?……（1）的一組 x,y；

（2） 求a 在模 p 意義下的乘法逆元 ：（這里改求 a 防止字符混淆）

? ? ? ????????????????a*a1 ( mod p )? ? ? ?……（2）

由（2） 得：?a*a+p*y=1 ……（3）

已知a , p 互質，即 gad(a,p)=1 ……（4）

（3），（4）得??a*a+p*y=gcd(a,b)=1 ，對照歐幾里得公式，得 不需要 p為質數，但要求 a , p互質，即乘法逆元存在即可。

? ? ? ? 2.1 求逆元代碼

#include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y){if (b == 0){x = 1;y = 0;return;}exgcd(b, a % b, y, x);y -= (a / b) * x; }ll get_inv(ll a, ll p) {ll x = 1, y = 0;exgcd(a, p, x, y);return (x % p + p) % p;//防止出現負數 } int main() {ll a, p;cin >> a >> p;for (int i = 1; i <= a; i++){cout<<get_inv(i, p)<<endl;} }

? ? ? ? 3.線性求逆元

（1）求1~n 依次在模p意義下得逆元;

（2）題目保證 p 為質數， 且 p>n;

（3）上述兩種方法略慢，因為需要對每一個數求逆元

? ? ? ? （1）對于一個數。由于 p>x。設 p = kx + r, k =?, r = p % x ;

? ? ? ? （2）在模 p 的意義下：

kx + r??0 ( mod p )????kx??-r ( mod p )??k * r?* x??-1?? -x * x?( mod p )

? x*?? ?-x * x?( mod p )

r*k*x=?-x * x?( mod p )

x?-k * r? ( mod p )

?????????這里我們得到一個遞推式，如果知道 r?的值 ，我們就能得到 x?的值。

根據假設， r = p % x <x,因此我們如果依次求 1~n 的逆元，那么 r?一定比 x?先被求出。即求?x?時已經知道 r?的值。

注意到若按等式處理，滿足等式的 x?應為負數？不是的 ，我們做一下變化

?x?( -k * r? ( mod p ) + p ) % p?

? ? ? ? 3.1 求逆元

#include <iostream> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN = 2e5; int n, p; int inv[MAXN]; void niyuan(int n) {inv[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++){inv[i] = -(p / i) * inv[p % i]; //x_inv= -k * r_inv ;inv[i] = (inv[i] % p + p) % p;} } void printNiyuan(int n) {for (int i = 1; i <= n; i++){cout << inv[i] << " ";} } int main() {cin >> n >> p;niyuan(n);printNiyuan(n);}

3.乘法逆元應用

適用于很大的數的乘積，最后的值的 p取模輸出，例如求排列組合的個數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的乘法逆元超详解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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