逆元

除以一個數再取模 = 乘以這個數的逆元再取模

設 inv[b] 是b的逆元，則（a/b） mod p = （a * inv[b]） mod p

（1）一個數的逆元是什么? ?一個數x在模p的條件下的逆元是多少

（2）一個數的逆元有無窮個，只求最小正整數即可

（3）一個數x在模p的條件下不一定有逆元，x關于p的逆元存在當且僅當x和p互質

推導：設 a 為 x 的逆元，b 為任意整數? ? ?//證明 x 與 p 必須互質

x * a?≡ 1 （mod p）

= x * a = 1 - b*p

= x * a +b * p = 1

若 x 與 p 不互質，則 x 和 p 存在公約數 d = gcd(x,p) >1

提取出 d ，得到：d*（x div d*a + p div d*b）=1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（x div d*a + p div d*b）= 1 div d? ? ? ? ? ?//移項

易知x，p能整除 d ，所以括號內定為整數

又因為 d > 1,等式右邊必為真分數，等式無解

何為乘法逆元

對于兩個數 a，p，若gcd（a，p）=1 （即a，p互質），則一定存在另一數b，使得a*b?≡ 1（mod p） //上面已證

并稱此時的 b 為 a 關于 1 模 p 的乘法逆元，記 b 為 inv（a） 或 a^-1。

求逆元的方法

?

1.費馬小定理

當有兩個數 a，p 滿足gcd（a，p）=1時，則有 a^p ≡ a （mod p）

變形：a * a^（p-2）≡ 1（mod p）//和上面乘法逆元定義相似

所以，我們可以求出a^（p-2），即求出 a 的逆元。

當p比較大的時候需要用快速冪求解

復雜度O(logn)

const int mod = 1000000009; long long pow(long long a,long long b) {if(b<0)return 0;long long res=1;a%=mod;while(b)//快速冪{if(b & 1)res=(res*a)%mod;b >>= 1;a=(a*a)%mod;}return res; } long long inv(long long a)//求逆元 {return pow(a,mod-2);//求a^（mod-2） }

2.拓展歐幾里得算法

由定義可知：a * b?≡ 1 （mod p）

等價于已知a，p求一個二元一次方程組 a*b = k*p+1

移項得:a*b - k*p = 1

然后套用求二元一次方程的方法，用擴展歐幾里得算法求得一組x0,y0和gcd?
檢查gcd是否為1?
gcd不為1則說明逆元不存在?
若為1，則調整x0到0~m-1的范圍中即可

PS：這種算法效率較高，常數較小，時間復雜度為O(ln n)

條件：可擴展歐幾里得求逆元 ab≡1(mod p)其中a，p互質

ll ecgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {if(b == 0)//終止條件{x = 1;y = 0;return a;}else {ll ans = ecgcd(b,a%b,x,y);//繼續遞歸下去ll temp = x;//暫且保存xx = y;y = y-a/b*temp;return ans;} } ll inv(ll a,ll n)//求逆元 {ll x,y;exgcd(a,n,x,y);//解二元一次方程組x = (x % n+n) % n;return x; }

?

3.遞推計算階乘的逆元

當我們計算一大串連續的階乘的逆元時，采用費馬小定理或擴展歐幾里得就可能會時超，所以得采用一個更快的算法

令 f[i] = i!，可得：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? inv（f[i+1]）≡ inv（f[i]*（i+1））? ? ? （mod p）

將（i+1）乘過去得：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? inv（f[i]）≡ inv（f[i+1]）* （i+1）? ? ? （mod p）

4.遞推計算連續的數的逆元：

當我們要計算連續的數的逆元時，我們可以采用一下遞推式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

5.還有一種我也不知道的算法（盜的）

逆元打表法

有時會遇到這樣一種問題，在模質數p下，求1~n逆元 n< p（這里為奇質數）。可以O(n)求出所有逆元，有一個遞推式如下

?

???????????????????

?

它的推導過程如下，設，那么

?

???? ??

?

對上式兩邊同時除，進一步得到

?

???????

?

再把和替換掉，最終得到

?

???????

?

初始化，這樣就可以通過遞推法求出1->n模奇素數的所有逆元了。

還有一種？？？（不過好像就是我的第四種）

另外有個結論模的所有逆元值對應中所有的數，比如，那么對應的逆元是。

const int n=le5+5; int inv[n]; void inverse(int n,int p) {inv[1]=1;for(int i=2 ; i<=n ;i++){inv[i]=(ll)(p-p/i)*inv[p%i]%p;} }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈 逆元乘法逆元的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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