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  • 對(duì)稱圓排列
• 斯特林?jǐn)?shù) - 第一類
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圓排列

圓排列 又稱循環(huán)排列，他是一個(gè)“二維形狀”，構(gòu)成空間上的一個(gè) 圓形每個(gè)圓排列，都對(duì)應(yīng)有“多個(gè)”直線排列比如，某個(gè)圓排列的size是4，那么他就有4個(gè)“直線排列”因?yàn)?#xff0c;比如某個(gè)直線排列是abcd' 所謂圓排列，即把a(bǔ)bcd這個(gè)直線排列，“均勻”的放到一個(gè)圓上 ' 那么，這個(gè)圓排列 所對(duì)應(yīng)的直線排列有： abcd、bcda 、cdab 、dabc “即，圓排列看的是： 這n個(gè)元素間的 相對(duì)位置 ”2個(gè)圓排列相同：1， 元素個(gè)數(shù)相同2， 這n個(gè)元素 的 相對(duì)問題，都相同 a de b 和 c e ， 這倆是 同個(gè) 圓排列d c b a

size為n的圓排列

從n個(gè)元素中，選出一個(gè)“size為n”的圓排列，問能得到多少種不同的圓排列。比如n=4：第1個(gè)圓排列： abcd、bcda、cdab、dabc ' 這都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓排列 '第2個(gè)圓排列： abdc、bdca、cabd、dcab ' 這都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓排列 '第3個(gè)圓排列： acbd、b...、c...、d...第4個(gè)圓排列： acdb、b...、c...、d...第5個(gè)圓排列： adbc、b...、c...、d...第6個(gè)圓排列： adcb、b...、c...、d...方式1：1個(gè)全圓排列（size=n） 對(duì)應(yīng) n個(gè)直線排列而，n個(gè)元素 有n!個(gè)直線排列 故，有 n! / n = (n-1)! 個(gè) 全圓排列方式2：每個(gè)圓排列，他所對(duì)應(yīng)的“直線排列”，都是n個(gè)形如：“a...、b...、c...、d...”所以，只看第一個(gè)a... 則有(n-1)! 個(gè)全圓排列

size為m的圓排列

從n個(gè)元素中，選出一個(gè)“size為m”的圓排列，問能得到多少種不同的圓排列。比如n=4、m=3：第1個(gè)圓排列： abc、b..、c.. ' 這都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓排列 '第2個(gè)圓排列： acb、c..、b.. ' 這都對(duì)應(yīng)同一個(gè)圓排列 '第3個(gè)圓排列： abd、b..、d..第4個(gè)圓排列： adb、........第5個(gè)圓排列： acd、........第6個(gè)圓排列： adc、........第7個(gè)圓排列： bcd、cdb、dbc ' 注意這里非常重要！！ 與上面不同 '第8個(gè)圓排列： bdc、dcb、cbd ' 這2項(xiàng)是沒有a元素的！！ 你很容易把這2給忘掉... 'n個(gè)元素 他有A(n, m)個(gè) “長(zhǎng)度為m的 直線排列”，注意別寫成C(n,m) 這個(gè)A(n,m)，就對(duì)應(yīng)為上面的這么多項(xiàng)！！！ 即，所以長(zhǎng)度為m 的排列。 然后3個(gè)一組，所以 A(n,m) / m一個(gè)size=m的圓排列，他有： m個(gè) 長(zhǎng)度為m的 直線排列 即這個(gè)問題的 圓排列數(shù)為： A(n, m) / m

對(duì)稱圓排列

在普通的圓排列中， a ae b 和 b e 是不同的圓排列d c c d但是，如果我們規(guī)定： 不考慮“順逆時(shí)針”（換句話說： 允許 鏡像/對(duì)稱 匹配）' 上面兩個(gè)圖形， 是“鏡像”對(duì)稱的。 所以，屬于同個(gè) 對(duì)稱圓排列 '即，鏡像對(duì)稱左L： 有m個(gè) 圓排列鏡像對(duì)稱右R： 有m個(gè) 圓排列 ' 注： L和R 不是同個(gè) 圓排列 '故，在普通的基礎(chǔ)上， 多了2倍， 只需在求圓排列后， 除以2即可 故：n個(gè)元素，有： A(n, m) / m / 2個(gè) （size=m的）對(duì)稱圓排列

斯特林?jǐn)?shù) - 第一類

將n個(gè)元素，劃分成 m個(gè) “非空”圓排列 的方案數(shù)' 注意，不是選出m個(gè)數(shù)，而是劃分成m個(gè)集合。 即：每種方案，都有n個(gè)元素 '' 這m個(gè)圓排列之間，不存在排列順序問題 ' 1 <= m <= n 當(dāng)m = 1： 即把n個(gè)數(shù)都放入一個(gè)圓排列里，對(duì)應(yīng)上面的 size=n的全圓排列問題ans = (n - 1)! 當(dāng)m = n： 因?yàn)槭欠强?#xff0c;即這n個(gè)圓排列 每個(gè)里面都有1個(gè)元素。 圓排列之間不考慮順序問題ans = 1n=3, m=2（1） （23）（2） （13）（3） （12） n=4, m=2 （1） （234） （1） （243） （2） （134） （2） （143） （3） （124） （3） （143） （4） （123） （4） （132） （12） （34） （13） （24） （14） （23）' 因?yàn)?#xff0c;很很重要的一點(diǎn)： 這n個(gè)元素 都要參與 每一種的方案里！！！ 并不是選出m個(gè)元素 ' ' 劃分成m個(gè)集合，n個(gè)元素都要參與，所以： 可以考慮dp 'cur = dp[4][2] 第二維度的2表示：此時(shí)有2個(gè)圓排列：（圓排列1）（圓排列2）我們此時(shí)新添加1個(gè)元素“第5號(hào)元素”: 即從dp[4][2] 往 dp[5][] 轉(zhuǎn)移元素5，在dp[4][2]的基礎(chǔ)上，新建立一個(gè)集合：即dp[5][3]： （圓排列1）（圓排列2）（圓排列3）且，圓排列3 只有1個(gè)元素，即這個(gè)元素5.dp[n][m] -> dp[n + 1][m + 1] 元素5，在dp[4][2]的基礎(chǔ)上，放到現(xiàn)有集合里面：即dp[5][2]： （圓排列1）（圓排列2）比如元素5 放到圓排列1里面： '此時(shí)圓排列1，形態(tài) 個(gè)數(shù) 元素，都是確定的！ 即是某1個(gè)方案 '比如圓排列1是： 1 新元素放入： 1x32 13x2 132x 2 3原先的圓排列(a) -> 新加1個(gè)元素 -> (ax)原先的圓排列(ab) -> 新加1個(gè)元素 -> (axb) (abx)原先的圓排列(abc) -> 新加1個(gè)元素 -> (axbc) (abxc) (abcx)原先的圓排列(abcd) -> 新加1個(gè)元素 -> (axbcd) (abxcd) (abcxd) (abcdx)' 即，對(duì)應(yīng)某一個(gè) 唯一確定的 size=n的 圓排列， 新加1個(gè)元素，會(huì)有 n種 新的圓排列 '因?yàn)檫@個(gè)新元素，可以放到任意兩元素的中間故，這個(gè)元素5 放到 dp[4][2]里：dp[4][2] = cont ' 表示，有cont種 方案數(shù) '對(duì)于，dp[4][2]里的 “某一個(gè)方案”來說： 這個(gè)元素5： 放入圓排列1/2里，會(huì)產(chǎn)生 (圓排列1的size) + (圓排列2的size)種 方案dp[n][m] * n -> dp[n + 1][m]' 這里的 *n， 其實(shí)是： 這m個(gè)圓的size 之和 = n '[i - 1][j - 1] 和 [i - 1][j] 更新-> dp[i][j] ' 和排列數(shù)公式的dp更新，完全一樣。 ' ' 注意for循環(huán)的順序， 即，當(dāng)?shù)搅薲p[i][j]時(shí) 他的答案必須是正確的！！！'dp[1][1] = 1; FOR(i, 1, n, 1){FOR(j, 1, i, 1){dp[i + 1][j] += (dp[i][j] * i); dp[i + 1][j + 1] += (dp[i][j]);} }

例題

https://leetcode-cn.com/problems/number-of-ways-to-rearrange-sticks-with-k-sticks-visible/給定n和m 有n個(gè)數(shù)字：1,2,3...,n 將他們排成一排（n!種） 數(shù)字代表高度 問，從左側(cè)往右側(cè)去看，恰好可以看到m個(gè)數(shù)字 的方案數(shù)n=3, m=2 (1 3 2) &nbsp; (2 3 1) &nbsp; (2 1 3)比如，我們令 看到的這m個(gè)數(shù)字為： (h1, ..都比h1小) (h2, ..都比h2小) (h3 ..都比h3小) ... 自然有：h1 < h2 < h3, ..., < hm方法1：思考“第1類 斯特林?jǐn)?shù)”： (圓排列1) (圓排列2) ...比如圓排列1，他對(duì)應(yīng)的直線排列是： 123, 231, 321比如圓排列2，他對(duì)應(yīng)的直線排列是： 465, 654, 546' 我們選擇， (321) (654) 這種直線排列 '因?yàn)?#xff0c;一種圓排列，對(duì)應(yīng)有很多個(gè) 直線排列，我們選擇： 以"最大元素"為開頭的 直線排列根據(jù)： (h1, ..都比h1小) (h2, ..都比h2小) (h3 ..都比h3小) ...得到： 圓排列1 圓排列2 圓排列3' 任何一種直線排列，唯一對(duì)應(yīng) 1種圓排列！。 1種圓排列，對(duì)應(yīng)很多種 直線排列 '不同的直線排列，可能對(duì)應(yīng)同1個(gè)圓排列！！！ 比如： (123) （231） （312） 對(duì)應(yīng)的是： 1種 圓排列但是： 開頭元素相同的直線排列，一定對(duì)應(yīng)不同的 圓排列！！！比如： (312) (321) 他對(duì)應(yīng)的是： 2種 圓排列本題中，h1 < h2 < h3 < .. 的限定， 對(duì)應(yīng)于： 第1類斯特林?jǐn)?shù)中的：不同圓排列 順序無關(guān)所以， (312) (321) 在本題中，是不同方案； 在圓排列中，也是不同的圓排列因此，該題 就是 第1類斯特林?jǐn)?shù)方法2：前提是，你必須知道：令看到的這m個(gè)數(shù)字為： h1 < h2 < h3, ..., hm(h1, ..都比h1小) (h2, ..都比h2小) (h3 ..都比h3小) ...' 以上的這m個(gè)集合， size >= 1 '(4, 2, 1, 3) (5) (8, 6, 7) 這是一種方案(4, 3!) (5) (8, 2!) 這3! * 2!個(gè)，都是合法的即，每個(gè)集合，開頭元素最大，其他元素的可以進(jìn)行 全排列涉及到“方案數(shù)”，一定要想到dp！！！令dp[n][m]為： 將n個(gè)元素(1,2,3...,n) 分成 m個(gè)集合 的方案數(shù)（對(duì)應(yīng)題目的要求）此時(shí)，這個(gè)dp[n][m]里的每個(gè)方案，都滿足：(h1, ..都比h1小..) (h2, ..都比h2小..) (h3 ..都比h3小..) ...當(dāng)新增(n+1)這個(gè)元素1， 這個(gè)元素，單獨(dú)成1個(gè)集合（他只能放到最后，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="token punctuation">(n+1)是最大的元素）dp[n+1][m+1] = dp[n][m]2， 這個(gè)元素，放到這m個(gè)集合中dp[8][3]: (4, 2, 1, 3) (5) (8, 6, 7)因?yàn)檫@個(gè)元素是n+1，是最大的元素！！！！ 所以，他只能 放到第m個(gè) 最后的集合中去。即： (4, 123) (5) (9, 678)“其實(shí)，這是錯(cuò)的！！！！”9，確實(shí)是只能在最后1個(gè)集合里。 但是，9不一定是放到 “原先的最后集合”因?yàn)?#xff0c;9放到哪個(gè)集合里， 這個(gè)集合 立刻就變成了 最后的集合！！！9放到5集合里，他會(huì)自動(dòng)變成： （4, 123） (8, 67) (9, 5)' 即， 這個(gè)新元素9，是可以放到 這m個(gè)集合里，任意的集合里面的！！！'以，(4, 123)來看， 比如我們將9 放到這個(gè)集合里。假如是： dp[nex] = dp[cur]意味著，你只得到了： (9, 4, 3!) = 3!= 6種方案但其實(shí)，(9, 4!) 都是合法的。 9的后面，不一定是4，是誰都可以。即，cur的dp中，某個(gè)集合是： (最大H， c個(gè)<H的全排列) 方案是c!（這是在cur的dp里）現(xiàn)加入一個(gè)新元素New，（New > H）如果你直接dp[cur] -> dp[nex]會(huì)得到： (New, H, c個(gè)<H的全排列)而， 此時(shí)，H不一定是 第2個(gè)元素，這c個(gè)<H的元素，都可以是第2個(gè)元素因此是： dp[cur] * (集合size) -> dp[nex]dp[cur] * (集合1的size) -> dp[nex]dp[cur] * (集合2的size) -> dp[nex]dp[cur] * (集合3的size) -> dp[nex]綜合便是： dp[n][m] * n -> dp[n + 1][m]這確實(shí)很復(fù)雜，最好想到圓排列。1， 新元素n+1，不是只能放到 原先dp的最后一個(gè)集合里！！！放到任意一個(gè)集合里，都可以。 這很難2， 新元素n+1，放到某個(gè)(size)的集合里原先集合里是：(size-1)!的全排列。 而現(xiàn)在集合可以是：(size)!的全排列所以，需要 *= size這個(gè)dp定義，很重要。 比如dp[6][2]：(3, 1, 2) (6, 5, 4)(5, 4, 3) (6, 1, 2)(1) (6, 5, 4, 3, 2)' 即，每個(gè)集合的開頭元素 不固定，集合大小也不固定！！ '肯定是不固定的，這就是dp的本質(zhì)。 他就是指的一個(gè)“泛化”的形式。一個(gè)簡(jiǎn)單的dp[6][2]， 包含了很多的具體方案 你可以從，集合大小來看 '因?yàn)?#xff0c;這個(gè)dp的信息，只有：6個(gè)元素，2個(gè)集合 '集合的個(gè)數(shù)是固定的。(1) (5)(2) (4)(3) (3)(4) (2)(5) (1) 這個(gè)dp[6][2]，一定由以上的5種分配 組成。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的圆排列、循环排列、斯特林数、stirling的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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