蒙特卡羅(Monte Carlo)方法的精髓：用統計結果去計算頻率，從而得到真實值的近似值。

一、求圓周率的近似值，采用 投點法

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib.patches import Circle

# 投點次數

n = 10000

# 圓的信息

r = 1.0 # 半徑

a, b = (0., 0.) # 圓心

# 正方形區域邊界

x_min, x_max = a-r, a+r

y_min, y_max = b-r, b+r

# 在正方形區域內隨機投點

x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布

y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 計算 點到圓心的距離

d = np.sqrt((x-a)**2 + (y-b)**2)

# 統計 落在圓內的點的數目

res = sum(np.where(d < r, 1, 0))

# 計算 pi 的近似值(Monte Carlo方法的精髓：用統計值去近似真實值)

pi = 4 * res / n

print('pi: ', pi)

# 畫個圖看看

fig = plt.figure()

axes = fig.add_subplot(111)

axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)

plt.axis('equal') # 防止圖像變形

circle = Circle(xy=(a,b), radius=r, alpha=0.5)

axes.add_patch(circle)

plt.show()

效果圖

二、求定積分(definite integral)的近似值，采用 投點法

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

'''蒙特卡羅方法求函數 y=x^2 在[0,1]內的定積分(值)'''

def f(x):

return x**2

# 投點次數

n = 10000

# 矩形區域邊界

x_min, x_max = 0.0, 1.0

y_min, y_max = 0.0, 1.0

# 在矩形區域內隨機投點

x = np.random.uniform(x_min, x_max, n) # 均勻分布

y = np.random.uniform(y_min, y_max, n)

# 統計 落在函數 y=x^2圖像下方的點的數目

res = sum(np.where(y < f(x), 1, 0))

# 計算 定積分的近似值(Monte Carlo方法的精髓：用統計值去近似真實值)

integral = res / n

print('integral: ', integral)

# 畫個圖看看

fig = plt.figure()

axes = fig.add_subplot(111)

axes.plot(x, y,'ro',markersize = 1)

plt.axis('equal') # 防止圖像變形

axes.plot(np.linspace(x_min, x_max, 10), f(np.linspace(x_min, x_max, 10)), 'b-') # 函數圖像

#plt.xlim(x_min, x_max)

plt.show()

效果圖

總結

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