題目描述：

dota游戲里面，召喚師可以控制冰雷火三種元素，并通過元素組合產生新的技能。現在我們修改了張新的地圖， 地圖中他能夠控制n種元素， 并且將m個元素圍成一個圈組成一 個新技能(這m個元素通過旋轉或反轉，算作重復，如123、231、312、 321、213、 132都算重復)，那么召喚師能組合多少技能(20000>=n>=1 ,1<=m<=10000)，由于結果可能很大，請將結果對000000007取余

正解傳送門：

【Polay定理總結】【2019華為筆試】【普通涂色問題 組合數學】召喚師的技能——圓排列，翻轉和項鏈排列

召喚師·卡爾（Polya定理）

下面的別看 = =

分析:
根據題意，這是個圓排列去除圓的翻轉排列
我先解釋下圓排列：
例子1：
[1]參考網址：例子來自知乎
圓排列的定義為：有一組元素，將其排成一個圓，這種排列叫做圓排列或項鏈排列。

• 有五個小朋友，手拉手排成一個圓做游戲，求不同的排法數？

一般有兩個思路：

• 假如五個小朋友手牽手變成圓排列，任意兩個相鄰的小朋友手松開就變成了一個直排列，即，任意一種圓排列對應五個不同的直線排列。五個小朋友站成一排有5！種方法，則手拉手有5!/5=4!種方法。
• 假如五個小朋友手牽手變成圓排列，五人按順序移動一個位置其實是一種圓排列。所以固定其中一人，剩下四人任意排，有4！種方法。

一般地，有m個元素作圓排列，其計算公式為(m-1)!

例子2：
有5對夫婦和A、B共12人參加一場婚宴，他們被安排在一張12個座位的圓桌就餐，要求每對夫妻都相鄰坐，A、B不相鄰，甲、乙太太是閨蜜又要相鄰坐，如果旋轉之后相同算一種坐法，一共有多少種安排方法？

思路：
固定甲、乙太太兩個人，有2種方法：甲乙或乙甲；甲、乙先生位置就定下來
剩下三對夫妻捆綁3！每對可以左右互換小排列2^3
A、B在四個空里插空，A(4,2)
綜上：2x3!x2^3xA(4,2)=1152

比如： 123 的圓排列有：1 2 3 、3 1 2、2 3 1相同，
又有翻轉排列有：321 的圓排列有：3 2 1、1 3 2、2 1 3。
123的翻轉排列等價于123的圓排列，所以，123 的翻轉圓排列數目為1.
本來只算圓排列，有1 2 3 、3 2 1兩種，現在只有2/2=1種

從n個不同元素中不重復地取出m（1≤m≤n）個元素在一個圓周上，叫做這n個不同元素的圓排列。如果一個m-圓排列旋轉可以得到另一個m-圓排列，則認為這兩個圓排列相同。
n個不同元素的m-圓排列個數N為：
特別地，當m=n時，n個不同元素作成的圓排列總數N為：

故這里根據題意，圓排列的翻轉排列必然不含在其圓排列中。故

翻轉圓排列=圓排列數/2

注意到這里，每次都一定要選出m個元素來進行排列。
所以這里先對選出的元素，比如說x個不同的元素(出現一次)，y個相同的元素（出現多次）進行圓排列，
我們知道x+y=n，且m=y*(元素重復次數)+x
根據上面的公式：

N=(n-1)!

思考：

由于地圖中他能夠控制n種元素， 并且將m個元素圍成一個圈組成一 個新技能(這m個元素通過旋轉或反轉，算作重復，如123、231、312、 321、213、 132都算重復)
所以這里需要先從n個元素選出m個，也就是$C_m^n=\frac{A_m^n}{n!}=\frac{m!}{n!(m?n)!}$ 然后乘上$(m?1)!$

根據公式寫代碼即可。
$$種數=\frac{m!(m?1)!}{n!(m?n)!}$$

拓展

當圓排列里含有重復元素怎么辦：

原文：https://www.cnblogs.com/guhejian/p/5882845.html

有關圓排列問題——m個相同的元素和n個不同的元素的圓排列解法。
根據圓排列規則，先將 $n+m$ 個元素進行線排列有$$\frac{（m+n)！}{(m!)}$$種；又每$m+n$ 種線排列對應1種圓排列；
所以圓排列的種數為$（m+n?1）！/(m!)$種；
注意:
圓排列中，經旋轉可以重合的視為一種；

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【2019华为笔试】召唤师的技能——圆排列，翻转和项链排列的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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