1. 理論介紹：?

? ? ? ? Zernike多項式【1】（荷蘭物理學家弗里茨·澤爾尼克）是定義在單位圓上且滿足正交的多項式序列，其在極坐標下可寫為：

其中， 是第 j 階Zernike模式，0≤r≤1，0≤θ≤2π，m、n 分別是多項式的角向級數和徑向級數，且滿足m≤n；當 n?|m| 是偶數，而徑向多項式定義為：

2. Zernike多項式的幾個性質

2.1 Zernike多項式之間是相關正交的，可以用公式記為：

2.2 除平移項(piston模式)外的所有正交多項式的均值為零；

2.3 每個正交多項式(不包括piston模式)的均值為0; 證明如下(利用到的是性質2.1哦)：

2.4 波前均值等于平移項(piston模式)的系數

2.5 每個標準正交多項式都有一個最小方差；

2.6 波前方差為各多項式系數的平方之和，不包括平移項的系數；

由于本人能力有限，只有做到這個程度啊。

那么，第 j 階模式與n和m是否有相應的聯系呢？答案是肯定的咯，一般來說給定任意一個q，可以求出n和m的值。但是n和m的值與Zernike多項式的排序有關系，常見的排序方式分為Noll 序列（應用于大氣湍流），OSA（人眼像差）以及Fringe三種，無論怎么排序都不需要Zernike多項式的值哦。

另外，需要注意的是：該多項式是定義在單位圓內，實際操作的時候需要加一個mask函數以屏蔽圓外的數據哦。主要還是圓外的數據比圓內的數據大的多的多啊。

3. Matlab仿真部分：

3.1 定義Noll排序方式

Noll中的j，m 和 n的值分別如下所示

對于j = 1:20 j = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20] NOLL下的n和m的值為： m = [0, 1,-1, 0,-2, 2,-1, 1,-3, 3, 0, 2,-2, 4,-4, 1,-1, 3,-3, 5] n = [0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5]而OSA下的值為： m = [0,-1, 1,-2, 0, 2,-3,-1, 1, 3,-4,-2, 0, 2, 4,-5,-3,-1, 1, 3] n = [0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5]

用代碼實現Noll排序，根據Zernike多項式的序號j，返回n和m的值：

function [n,m] = Noll_to_Zernike(j) % 序號j從1開始；j = 1 對于的是piston模式if(j<1) error('Noll indices start at 1.');endn = 0;m = 0;j1 = j-1;while (j1 > n)n = n + 1;j1 = j1 - n;m = (-1)^j * (mod(n,2) + 2*floor((j1+mod(n+1,2))/2));end end

用代碼實現OSA排序，根據Zernike多項式的序號j，返回n和m的值

function [n,m] = OSA_to_Zernike(j)% 注意 這里的j是從0開始，j = 0對應的是piston模式，% 如果要從開始則傳入的參數為j-1，此時可以與Noll_to_Zernike匹配n = floor(sqrt(2*j+1)+0.5)-1;m = 2*j-n*(n+2); end

3.2 Zernike多項式的主體部分

function Znm= Zernike(j,res) % 參數j： Zernike多項式的序號 % 參數res：Zernike多項式的分辨率x = linspace(-1,1,res);[x,y] = meshgrid(x,x);[theta,rho] = cart2pol(x,y);% 由(x,y)換算(r,theta)[n,m] = Noll_to_Zernike(j); % 調用函數，返回n和m的值% [n,m] = OSA_to_Zernike(j-1)if m == 0deltam = 1;elsedeltam = 0;endNorm = sqrt(2*(n+1)/(1+deltam));% 歸一化因子 Rnm_rho = zeros(size(rho)); % 初始化徑向多項式for s = 0:(n-abs(m))/2Rnm_rho = Rnm_rho+(-1)^s.*prod(1:(n-s))*rho.^(n-2*s)/(prod(1:s)*...prod(1:((n+abs(m))/2-s))*prod(1:((n-abs(m))/2-s))); % 徑向多項式endif m < 0Znm = -Norm.*Rnm_rho.*sin(m.*theta); % m<0時候的zernike多項式elseZnm = Norm.*Rnm_rho.*cos(m.*theta); % m>0時候的zernike多項式endZnm = Znm.*(rho<=1); % mask = (rho<=1)，只保留單位圓內的數據end

3.3 主函數

clc;clear all; close all % 單獨生成某一個模式 res = 60; % 分辨率設置為60 Z = Zernike(3,res); % 第3個模式（）像散） figure(1);imagesc(Z);colormap(jet);colorbar% 生成前60個模式，且分辨率也為60 num = 60; Znm = zeros(res,res,num); for i= 1:numZnm(:,:,i) = Zernike(i,60); end figure(5);imagesc(Znm(:,:,5));colormap(jet);colorbar

3.4 結果部分

運行代碼后即可出現圖像哦。

參考文獻

[1] NOLL R J. Zernike polynomials and atmospheric turbulence [J]. JOsA, 1976, 66(3): 207-11.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Zernike多项式的Matlab代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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