補充更方便使用的R語言版本：張敬信：【R語言】泰爾指數及其分解?zhuanlan.zhihu.com

前言

最近查一點泰爾指數的資料，發現無論是公式還是軟件實現，都說的特別亂，看不出所以然。

特整理了該內容，并用Matlab軟件給出了實現的代碼。

一.泰爾指數

泰爾指數(Theil index)或者泰爾熵標準(Theil’s entropy measure)泰是由泰爾(Theil,1967)利用信息理論中的熵概念來計算收入不平等而得名。

熵在信息論中被稱為平均信息量。在信息理論中，假定某事件E將以某概率p發生，而后收到一條確定消息證實該事件E的發生，則此消息所包含的信息量用公式可以表示為：

設某完備事件組由各自發生概率依次為

, 由n個事件

構成，則有

, 熵或者期望信息量等于各事件的信息量與其相應概率乘積的總和：

將信息理論中的熵指數概念用于收入差距的測度時，可將收入差距的測度解釋為將人口份額轉化為收入份額(類似于洛倫茲曲線中將人口累計百分比信息轉化為收入累計百分比)的消息所包含的信息量。而泰爾指數只是熵指數中的一個應用最廣泛的特例。泰爾指數的表達式為：

其中，

為收入差距程度的測度泰爾指數，

表示第

個體的收入，

表示所有個體的平均收入。

對于分組數據，泰爾指數有另一種表達式：

其中，

表示第

組收入占總收入的比重,

表示第

組人口數占總人口數的比重。

例1.

(I) 按公式(2)計算：

functionT=Theil2(x)%函數Theil2()計算泰爾指數, 反映收入水平的差異

%其中,x為n個個體的收入

xx=x./mean(x);

T=mean(xx.*log(xx));

主程序：

y2=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每個個體的收入(萬美元)

T2=Theil2(y2)

運行結果：

T2 = 0.0791

(II) 按公式(3)計算：

functionT=Theil(y,p)%函數Theil()計算泰爾指數, 反映收入水平的差異

%其中,y為各組的平均收入; p為各組包含的個體數

w=y.*p/sum(y.*p);

e=p./sum(p);

T=sum(w.*log(w./e));

主程序：

y=[10 8 6 4 2]; %各組的平均收入(萬美元)

p=[2 4 6 4 2]; %各組包含的個體數

T=Theil(y,p)

運行結果：

T = 0.0791

二. 泰爾指數分解法

泰爾指數作為收入不平等程度的測度指標具備良好的可分解性質，即將樣本分為多個群組時，泰爾指數可以分別衡量組內差距與組間差距對總差距的貢獻。假設包含

個個體的樣本被分為

個群組，每組分別為

,第

組

中的個體數目為

，則有

.

用

表示個體

的收入份額(占總收入的比例),

表示第

組的收入份額(占總收入的比例)

記

與

分別為組間差距和組內差距，則可將泰爾指數分解如下：

在上式中組間差距與組內差距分別有如下表達式：

其中，

為第k組的組內差距(k=1,...K).

進一步，可以計算第k組組內差距的貢獻率和組間差距的貢獻率：

另外，值得注意的是組內差距項分別由各組的組內差距之和構成，各組的組內差距的計算公式與樣本總體的計算公式并無二致，只是將樣本容量控制在第k組的個體數目。

例2還是例1的數據，計算組間差距與組內差距，驗證泰爾指數

function[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)%函數TbTw()計算泰爾指數分解

%返回Tb為組間差距, Tw為組內差距, z為各個組內差距,

%返回T為泰爾指數, Db為組間貢獻率, Dw為各個組內貢獻率

%泰爾指數T=Tb+Tw

%x為N個個體的收入向量, 依次分為K個分組, n=[n1,...,nK]為各分組的個體數向量, sum(n)=N

K=length(n);

s=[0,cumsum(n)];

for k=1:K

X{k}=x(s(k)+1:s(k+1))./sum(x); %X{k}為第k個分組的nk個個體的收入份額(占總收入的比例)

y(k)=sum(X{k}); %y(k)為第k組的收入份額(占總收入的比例)

end

Tb=sum(y.*log(y./(n./length(x)))); %組間差距

for k=1:K

z(k)=sum((X{k}./y(k)).*log(n(k)*X{k}./y(k))); %第k組的組內差距

end

Tw=sum(y.*z); %總的組內差距為各分組組內差距的加權和

T=Tb+Tw; %泰爾指數

Db=Tb/T; %組間貢獻率

Dw=y.*z/T; %各分組內的組內貢獻率

主程序：

x=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每個個體的收入(萬美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分組的個體數

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)

運行結果：

Tb

= 0.0791

Tw

= -3.7007e-17

T

= 0.0791

z

= 1.0e-15 *

0 0

-0.1110 0 0

Db

= 1.0000

Dw

= 1.0e-15 *

0 0

-0.4680 0 0

說明：由于該例中，每個分組內各個個體的收入是相同的，故每個分組的組內差距為０，總的組內差距Tw也為０，結果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的雙精度誤差造成的，相當于是０.

例3 修改例1中的數據，讓各分組的個體收入不相等，繼續測試上述算法。

原第1組：10、10，改為9.5、10.5

原第2組：8、8、8、8，改為7、9、7.5、8.5

原第3組：6、6、6、6、6、6改為5、7、5.5、6.5、6、6

原第4組：4、4、4、4改為3、5、3.5、4.5

原第5組：1.5、2.5

主程序：

x2=[9.5 10.5 7 9 7.5 8.5 5 7 5.5 6.5 6 6 3 5 3.5 4.5 1.5 2.5]; %每個個體的收入(萬美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分組的個體數

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x2,n)

運行結果：

Tb

= 0.0791

Tw

= 0.0077

T

= 0.0868

z

= 0.0013 0.0049

0.0058 0.0197 0.0316

Db

= 0.9112

Dw

= 0.0027 0.0167

0.0223 0.0336 0.0135

作者：張敬信

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的泰尔指数r语言_【数学建模】泰尔指数及分解的计算方法与Matlab实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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