詳解2020數學建模國賽A題爐溫曲線

問題描述

在集成電路板等電子產品生產中，需要將安裝有各種電子元件的印刷電路板放置在回焊爐中，通過加熱，將電子元件自動焊接到電路板上。在這個生產過程中，讓回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度，對產品質量至關重要。目前，這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調整的。本題旨在通過機理模型來進行分析研究。

回焊爐內部設置若干個小溫區，它們從功能上可分成4個大溫區：預熱區、恒溫區、回流區、冷卻區（如圖1所示）。電路板兩側搭在傳送帶上勻速進入爐內進行加熱焊接。

某回焊爐內有11個小溫區及爐前區域和爐后區域（如圖1），每個小溫區長度為30.5 cm，相鄰小溫區之間有5 cm的間隙，爐前區域和爐后區域長度均為25 cm。

回焊爐啟動后，爐內空氣溫度會在短時間內達到穩定，此后，回焊爐方可進行焊接工作。爐前區域、爐后區域以及小溫區之間的間隙不做特殊的溫度控制，其溫度與相鄰溫區的溫度有關，各溫區邊界附近的溫度也可能受到相鄰溫區溫度的影響。另外，生產車間的溫度保持在25oC。

在設定各溫區的溫度和傳送帶的過爐速度后，可以通過溫度傳感器測試某些位置上焊接區域中心的溫度，稱之為爐溫曲線（即焊接區域中心溫度曲線）。附件是某次實驗中爐溫曲線的數據，各溫區設定的溫度分別為175oC（小溫區1-5）、195oC（小溫區6）、235oC（小溫區7）、255oC（小溫區8-9）及25oC（小溫區10~11）；傳送帶的過爐速度為70 cm/min；焊接區域的厚度為0.15 mm。溫度傳感器在焊接區域中心的溫度達到30oC時開始工作，電路板進入回焊爐開始計時。

實際生產時可以通過調節各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產品質量。在上述實驗設定溫度的基礎上，各小溫區設定溫度可以進行±10oC范圍內的調整。調整時要求小溫區1-5中的溫度保持一致，小溫區8-9中的溫度保持一致，小溫區10-11中的溫度保持25oC。傳送帶的過爐速度調節范圍為65~100 cm/min。

在回焊爐電路板焊接生產中，爐溫曲線應滿足一定的要求，稱為制程界限（見表1）。詳情看官網題目數據。

請你們團隊回答下列問題：

問題1 請對焊接區域的溫度變化規律建立數學模型。假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區溫度的設定值分別為173oC（小溫區1-5）、198oC（小溫區6）、230oC（小溫區7）和257oC（小溫區8~9），請給出焊接區域中心的溫度變化情況，列出小溫區3、6、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5 s焊接區域中心的溫度存放在提供的result.csv中。

問題2 假設各溫區溫度的設定值分別為182oC（小溫區1-5）、203oC（小溫區6）、237oC（小溫區7）、254oC（小溫區8~9），請確定允許的最大傳送帶過爐速度。

問題3 在焊接過程中，焊接區域中心的溫度超過217oC的時間不宜過長，峰值溫度也不宜過高。理想的爐溫曲線應使超過217oC到峰值溫度所覆蓋的面積（圖2中陰影部分）最小。請確定在此要求下的最優爐溫曲線，以及各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，并給出相應的面積。

問題4 在焊接過程中，除滿足制程界限外，還希望以峰值溫度為中心線的兩側超過217oC的爐溫曲線應盡量對稱（參見圖2）。請結合問題3，進一步給出最優爐溫曲線，以及各溫區設定的溫度及傳送帶過爐速度，并給出相應的指標值。

分析

拿到題目首先分析得知此類型屬于熱傳導題目（即PDE類型)。給定的數據有：傳送帶速度、已知回流焊設定溫度后的一次測試數據，回流焊結構(各個溫區的長度)。其實拿到題目前就要將這些變量關系弄明白，是設定好傳送帶速度、各個溫區的溫度后，印刷版的受熱情況也就確定、爐溫曲線就確定了，因此，核心就是找到變量對應的關系：
傳送帶速度+各個溫區的溫度------${}^f$-------->爐溫曲線
而其中$f$是由于回焊爐內的熱傳導參數確定的模型(這個參數我們也是不知道的)

這樣子題目就清晰多啦！
第一問其實說白了就是根據最小二乘的思想進行擬合，在先驗數據測試數據下優化回焊爐內的熱傳導參數，來確定模型，也就是確定$f$，從而可以在問題一中給定的傳送帶速度+各個溫區的設定溫度下，去計算整個受熱狀態，這樣小溫區3、6、7中點及小溫區8結束處焊接區域中心的溫度，相應的爐溫曲線都出來啦！！

數學模型

問題一

最小化數據誤差:
$$(h_{cm},D,\lambda )=\underset{h_c,D,\lambda }{\arg }\min \sum _{i=1}^N[T(\frac{d}{2},t_i;h_c,D,\lambda )?T^{?}(t_i){]}^2,m=1,2,3.$$
熱力學控制方程：
$$\frac{?u(y,t)}{?t}{|}_{y\in (0,d)}=D\frac{{?}^{2}u(y,t)}{?y^2}{|}_{y\in (0,d)}.$$
這個方程是熱傳導方程的核心，它屬于拋物型PDE，利用傅里葉熱傳導定律和能量守恒推出來的熱傳導方程。
第三類邊界條件
$$\{\begin{array}{l}?\lambda \frac{?u\left(y,t\right)}{?y}{|}_{y=d}=h_{cm}\left(u\left(d,t\right)?T_{qi}.\right)\\ ?\lambda \frac{?u\left(y,t\right)}{?y}{|}_{y=0}=h_{cm}\left(T_{qi}?u\left(0,t\right)\right).\end{array}$$
利用熱對流密度的定義推出來的，作為邊界條件。
初值條件
$$u(y,0){|}_{y\in (0,d)}=T_{ori}.$$
初始溫度設定好，也就是印刷版剛進入回流焊區域時的溫度。

有了PDE方程和初邊值條件，就可以求解啦！！！如有限差分、有限元、有限體積等等，一般我們采用有限差分法，相對簡單：

有限差分

先對熱傳導方程進行離散化，主要是有限差分格式的選取，方法比較多，自圓其說即可，這里提供自適應的差分格式：
$$\frac{u_j^n?u_j^{n?1}}{\tau }?a\left[\theta \frac{u_{j+1}^n?2u_j^n+u_{j?1}^n}{h^2}+\left(1?\theta \right)\frac{u_{j+1}^{n?1}?2u_j^{n?1}+u_{j?1}^{n?1}}{h^2}\right]=0.$$
引入$\theta$后，也就是將前后差分結合。

對其進行泰勒展開得到截斷誤差即為：
$$\Delta E=a\left(\frac{1}{2}?\theta \right)\tau {\left[\frac{{?}^{3}u}{?y^2?t}\right]}_j^n+O\left({\tau }^2+h^2\right).$$
令$\theta =\frac{1}{2}$則得到更高精度。

追趕法

對離散化的線性方程組進行LU分解，根據系數矩陣特點，采用追趕法求解，這里講一講追趕法，追趕法是剛好適用于離散化后的線性方程組的形式，其分為兩部分————“追”和“趕”，對于線性方程組：
$$?\begin{array}{ccccccc}{b}_1& c_1& & & & & \\ a_2& b_2& c_2& & & & \\ & ?& ?& ?& & & \\ & & a_i& b_i& c_i& & \\ & & & ?& ?& ?& \\ & & & & a_{n?1}& b_{n?1}& c_{n?1}\\ & & & & & a_n& b_n\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_i\\ ?\\ x_n\end{array}?=?\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ ?\\ d_i\\ ?\\ d_n\end{array}?$$
其中系數矩陣$A$滿足對角占優的三對角線矩陣則可用，即滿足：
(1) $\left|b_1\right|>\left|c_1\right|>0;$
(2) $\left|b_i\right|?\left|a_i\right|+\left|c_i\right|,a_i,c_i=0,i=2,3,?,n?1$
(3) $\left|b_n\right|>\left|a_n\right|>0$
通過高斯消元后得到：
$$?\begin{array}{ccccc}1& u_1& & & \\ & 1& u_2& & \\ & & ?& ?& \\ & & & 1& u_{n?1}\\ & & & & 1\end{array}??\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ?\\ x_{n?1}\\ x_n\end{array}?=?\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ ?\\ q_{n?1}\\ q_n\end{array}?$$
其中系數為：
$$?\begin{array}{l}{u}_1=c_1/b_1\\ q_1=d_1/b_1\\ u_i=c_i/\left(b_i?u_{i?1}{a}_i\right),i=2,3,?,n?1\\ q_i=\left(d_i?q_{i?1}{a}_i\right)/\left(b_i?u_{i?1}{a}_i\right),i=2,3,?,n\end{array}$$
此時就可以回帶啦！先算$x_n$再算$x_{n?1}$一步步的解出$x$。回帶方程為：
$$\{\begin{array}{l}{x}_n=q_n\\ x_i=q_i?u_i{x}_{i+1},i=n?1,n?2,?,2,1\end{array}$$

最終得到溫度的分布圖：

問題二

解決了問題一，那問題二就so easy啦！因為問題二只需要優化一個參數，也就是速度的最大值，此時加上制程界限的約束，放入問題一已經得到的熱力學模型即可，這里貼一下其中的一種方案：

問題三

問題三其實就是通過調整各溫區的設定溫度和傳送帶的過爐速度，在滿足制程界限的條件下，使陰影部分面積最小。這里有兩個問題，怎么去根據離散數據求面積，第二，如何去優化這個最小。方法很大，對于面積問題，我們可以用數值積分的方式，可以采用辛普森等等；對于優化算法，可以用啟發式的智能算法，或者將問題轉化為凸優化等等，這是建模都會的。

問題四

為了衡量對稱性可以從兩個方面去衡量，第一是從數據的冗余角度去衡量，也即：
$$\min {\rm Y}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n\Delta d^2}{n}}$$
第二就是一般人都會想的面積之差：
$$\min S_{dark}=S_n?T_k\times (t_O?t_3)$$

總結

問題的關鍵就是去求解熱傳導方程，以及去優化整個模型的$f$，這是本題的重點。想要程序和論文的同學可以私聊我(有償)。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的详解2020数学建模国赛A题炉温曲线的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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