前面介紹的算法在最壞的情況下還是很糟糕。這次會介紹一種二分查找樹并能保證無論如何構(gòu)造它，他的運(yùn)行時間都是對數(shù)級別的。理想情況下我們希望能夠保持二分查找樹的平衡性。但是，在動態(tài)插入中保證樹的完美平衡的代價太高了。

2-3查找樹

我們將一棵標(biāo)準(zhǔn)的二叉查找樹中的節(jié)點(diǎn)成為2-節(jié)點(diǎn)（含有一個鍵和兩條鏈接），現(xiàn)在我們引入3-節(jié)點(diǎn)，它含有兩個鍵和三條鏈接。

查找

要判斷一個鍵是否在樹中，我們先將它和根節(jié)點(diǎn)中的鍵比較。如果它和其中任意一個相等，查找命中；否則我們就根據(jù)比較的結(jié)果找到指向相應(yīng)區(qū)間的鏈接，并在其指向的子樹中遞歸的遞歸查找。如果這個是空鏈接，查找未命中。

插入

樹的平衡：
任何節(jié)點(diǎn)的左子樹和右子樹之間的高度差不能超過1。

上圖中（a）是平衡的，（b）是不平衡的，很顯然，一個完全不平衡的樹，在做查找時，它就是線性級別的性能，而平衡的二叉樹，同樣的數(shù)據(jù)量，但有效利用了平衡性，它的查找性能則能降到對數(shù)級別。

而動態(tài)平衡要求的是要在插入是，時刻保持樹的平衡性。

分為幾種情況：

向2-節(jié)點(diǎn)中插入新鍵

若未命中的查找結(jié)束于一個2-節(jié)點(diǎn)，我們只要把這個2節(jié)點(diǎn)替換為一個3節(jié)點(diǎn)就可以了。

向一棵只有3-節(jié)點(diǎn)的樹中插入新鍵

為了新鍵的插入，首先臨時將新鍵存入該節(jié)點(diǎn)中，使之成為一個4-節(jié)點(diǎn)。然后很容易就將他轉(zhuǎn)化為一棵由3個2-節(jié)點(diǎn)組成的2-3樹。

向一棵父節(jié)點(diǎn)為2-節(jié)點(diǎn)的3-節(jié)點(diǎn)中插入新鍵

假設(shè)未命中的查找結(jié)束于3-節(jié)點(diǎn)，而他的父節(jié)點(diǎn)是2-節(jié)點(diǎn)。我們先像剛才一樣構(gòu)造一個臨時的4-節(jié)點(diǎn)并將其分解，但此時我們不會為中鍵創(chuàng)造一個新的節(jié)點(diǎn)，而是將其移動至原來的父節(jié)點(diǎn)中。

向一棵父節(jié)點(diǎn)為3-節(jié)點(diǎn)的3-節(jié)點(diǎn)中插入新鍵

假設(shè)未命中的查找結(jié)束于一個父節(jié)點(diǎn)為3-節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)，我們再次和剛才一樣構(gòu)造一個臨時的4-節(jié)點(diǎn)并分解它，然后將他的中鍵插入它的父節(jié)點(diǎn)中，但父節(jié)點(diǎn)也是一個3-節(jié)點(diǎn)，因此我們再用這個中鍵構(gòu)造一個臨時的4-節(jié)點(diǎn)，然后在這個節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行相同的變換，就這樣一直向上不斷分解臨時4-節(jié)點(diǎn)并將中鍵插入到更高層的父節(jié)點(diǎn)。

分解根節(jié)點(diǎn)

構(gòu)造二叉樹

總結(jié)

盡管我們可以用不同的數(shù)據(jù)類型表示2-節(jié)點(diǎn)和3-節(jié)點(diǎn)，但是這種直白的表示方法實(shí)現(xiàn)大多數(shù)操作并不方便，因?yàn)樾枰幚淼那闆r太多。我們需要維護(hù)兩種不同類型的節(jié)點(diǎn)，將被查找的鍵和節(jié)點(diǎn)中的每個鍵進(jìn)行比較，將鏈接和其他信息從一種節(jié)點(diǎn)復(fù)制到另一種節(jié)點(diǎn)，將節(jié)點(diǎn)從一種數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換到另一種類型，等等。不僅需要大量的代碼，而且產(chǎn)生的額外開銷可能會使算法比標(biāo)準(zhǔn)二叉樹更慢。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的查找算法之平衡查找树的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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