最值定理和介值定理共有前提：函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上是連續函數。這個前提下面不再贅述。

1. 最值定理

只要前提滿足，則必存在實數 $m$ 和 $M$，使得

$$m leq f(x) leq M$$

$m$ 為函數在區間上的最小值，$M$ 為最大值。換句話說：閉區間上的連續函數是一個有界函數，必定存在最大值和最小值。

2. 介值定理

函數 $f(x)$ 在區間的端點取函數值 $f(a)=A,f(b)=B$，且 $A
eq B$，那么當 $C in (A,B)$ 時，至少存在一點$xi in (a,b)$，使

$$f(xi) = C$$

為什么需要指明 $A
eq B$ 呢？因為假如 $A = B$，那這個點在開區間內不一定存在，可以這樣改：

當 $C in [A,B]$ 時，至少存在一點$xi in [a,b]$，使

$$f(xi) = C$$

注：第一種定義明確了 $xi$ 會在區間內部，而第二種定義 $xi$ 可能會出現在區間端點。

將介值定理和最值定理結合起來：

1）對閉區間先使用最值定理，因為閉區間上的連續函數有界并且能取得最大值和最小值。

2）再對最大值點和最小值點所在的子閉區間使用介值定理，即當$m leq C leq M$ 時，該子閉區間上至少存在一點 $xi$，使得 $f(xi) = C$。

既然子區間有這個性質，那擴展到整個區間，就得到一個關于介值定理的推論：

閉區間 $[a,b]$ 上連續的函數 $f(x)$，函數最大值 $M$，最小值 $m$，則當 $C$ 滿足$m leq C leq M$，在閉區間上必存在一點 $xi$ 滿足

$$f(xi) = C,xi in [a,b]$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的介值定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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